Singolarità lungo il cammino di integrazione
ciao a tutti devo risolvere l'integrale lungo una linea chiusa della seguente funzione complessa:
$f(z)= 1/[(z+2)(z+1)(z-1)]$.
A tale scopo utilizzo il teorema dei residui per cui devo trovare prima di tutto le singolarità della funzione :
$z=1 , z=-1, z=-2 $ e si trova che si tratta di poli semplici.
A questo punto devo trovare i residui relativi a ciascuna delle singolarità polari trovate e ho ottenuto:
per $z=1$: $ res = 1/6$,
per $z=-1$: $res= -1/2$,
per $z=-2$: $res= 1/3$.
per cui l'integrale è dato dalla somma dei residui ottenuti ovvero $I=0$
chiedo conferma per il risultato.
Mi chiedo a questo punto se sia possibile calcolare l'integrale da meno infinito a più infinito della stessa funzione di prima ma in campo reale:
$\ \int_{-infty}^{infty} 1/[(x+2)(x+1)(x-1)] dx$ usando il lemma di jordan.
non avrei grossi problemi se non per il fatto che ci sono ben 3 singolarità lungo il cammino di integrazione..come fare?
$f(z)= 1/[(z+2)(z+1)(z-1)]$.
A tale scopo utilizzo il teorema dei residui per cui devo trovare prima di tutto le singolarità della funzione :
$z=1 , z=-1, z=-2 $ e si trova che si tratta di poli semplici.
A questo punto devo trovare i residui relativi a ciascuna delle singolarità polari trovate e ho ottenuto:
per $z=1$: $ res = 1/6$,
per $z=-1$: $res= -1/2$,
per $z=-2$: $res= 1/3$.
per cui l'integrale è dato dalla somma dei residui ottenuti ovvero $I=0$
chiedo conferma per il risultato.
Mi chiedo a questo punto se sia possibile calcolare l'integrale da meno infinito a più infinito della stessa funzione di prima ma in campo reale:
$\ \int_{-infty}^{infty} 1/[(x+2)(x+1)(x-1)] dx$ usando il lemma di jordan.
non avrei grossi problemi se non per il fatto che ci sono ben 3 singolarità lungo il cammino di integrazione..come fare?
Risposte
"qadesh":
ciao a tutti devo risolvere l'integrale lungo una linea chiusa
Quale linea chiusa consideri? Sul cammino di integrazione la funzione deve essere almeno continua, non deve incontrare singolarità polari...
Hai ragione.
Nei calcoli che ho svolto ho considerato una circonferenza qualsiasi centrata nell'origine .
Le singolarità della funzione sono contenute all'interno della circonferenza (che quindi non deve passare su nessuna singolarità).
Quindi ho assunto che tale circonferenza abbia un raggio maggiore di due(dato che una singolarità è $z=-2$).
Nei calcoli che ho svolto ho considerato una circonferenza qualsiasi centrata nell'origine .
Le singolarità della funzione sono contenute all'interno della circonferenza (che quindi non deve passare su nessuna singolarità).
Quindi ho assunto che tale circonferenza abbia un raggio maggiore di due(dato che una singolarità è $z=-2$).
Ma quindi il tuo scopo ultimo è calcolare quell'integrale improprio?
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