Singolarità in campo complesso

[ma_ru_6]

Salve a tutti, sono nuovo del forum.
Ho un problema sulla classificazioni delle singolarità di una funzione in campo complesso. Vorrei sapere se qualcuno sà dirmi se è possibile dire se la singolarità è di tipo polo o eliminabile solo guardando la funzione e senza svolgere limiti o se devo necessariamente fare il limite della funzione per z che tende alla singolarità e vedere se tale limite non risulta finito.
Vi prego chiaritemi come funziona aiutoooooooooooooooooooooooooooooooooooooo

[ciampax]

Togli quel AIUTOOOO se no ti uccidono!

[ma_ru_6]

"ciampax":Togli quel AIUTOOOO se no ti uccidono!

SCUSA......

[xdom="Gugo82"]Ciao ma_ru_6.

L'essere nuovo non ti dà il diritto di trasgredire il regolamento; scrivere in maiuscolo equivale ad urlare, e a noi non piacciono gli esagitati. Quindi sei pregato di modificare titolo e testo del messaggio.

Inoltre, visto che ti trovi correggendo, ti consiglio di aggiungere punti, virgole e tutti quegli orpelli grafici che si chiamano segni d'interpunzione e che servono a rendere leggibile un testo.[/xdom]

[ma_ru_6]

Mi scuso

[gugo82]

"ma_ru_6":Vorrei sapere se qualcuno sà dirmi se è possibile dire se la singolarità è di tipo polo o eliminabile solo guardando la funzione e senza svolgere limiti o se devo necessariamente fare il limite della funzione per z che tende alla singolarità e vedere se tale limite non risulta finito.

Oddio, il limite e/o lo sviluppo in serie di Laurent sono le uniche vie sicure...

Però ci sono considerazioni che possono essere fatte anche "a occhio", usando i limiti fondamentali (che si estendono dal caso reale al caso complesso quasi inalterati), e che di solito aiutano parecchio e risparmiano calcoli.

Un fattore fondamentale è l'esperienza.

[ma_ru_6]

"Gugo82":[quote="ma_ru_6"]Vorrei sapere se qualcuno sà dirmi se è possibile dire se la singolarità è di tipo polo o eliminabile solo guardando la funzione e senza svolgere limiti o se devo necessariamente fare il limite della funzione per z che tende alla singolarità e vedere se tale limite non risulta finito.

Oddio, il limite e/o lo sviluppo in serie di Laurent sono le uniche vie sicure...

Però ci sono considerazioni che possono essere fatte anche "a occhio", usando i limiti fondamentali (che si estendono dal caso reale al caso complesso quasi inalterati), e che di solito aiutano parecchio e risparmiano calcoli.

Un fattore fondamentale è l'esperienza.[/quote]
Grazie gugo, anche se speravo in qualche regola di massima che mi risparmiasse qualche limite visto che sia la mia prof che la tutor partono dirette con la ferma consapevolezza che la singolarità sia eliminabile o di tipo polo

[gugo82]

Se fai qualche esempio vediamo come fanno ad avere quelle certezze.

Il modo corretto per inserire le formule lo trovi spiegato qui.

[ma_ru_6]

"Gugo82":Se fai qualche esempio vediamo come fanno ad avere quelle certezze.

Il modo corretto per inserire le formule lo trovi spiegato qui.

Per esempio $(sinz)/((z^2)-(pi^2))$ mi dice subito che ho due singolarità eliminabili
oppure $(z*cosz)/(sinz)$ mi dice subito che in zero ho singolarità eliminabile e poi le altre che sono di tipo polo

[ma_ru_6]

"ma_ru_6":[quote="Gugo82"]Se fai qualche esempio vediamo come fanno ad avere quelle certezze.

Il modo corretto per inserire le formule lo trovi spiegato qui.

Per esempio $(sinz)/((z^2)-(pi^2))$ mi dice subito che ho due singolarità eliminabili
oppure $(z*cosz)/(sinz)$ mi dice subito che in zero ho singolarità eliminabile e poi le altre che sono di tipo polo[/quote]
Scusa gugo avevo scritto male il primo ora è corretto

[gugo82]

Vedi che è tutta un'applicazione dei limiti fondamentali...

Allora, per il primo fai la sostituzione $zeta=z-pi$, quindi la tua funzione diventa $(sin (zeta+pi))/zeta=(-sin zeta)/zeta$ la quale ha una singolarità eliminabile (per il limite fondamentalissimo del seno) in $zeta=0$; quindi, tornando alla variabile $z=zeta+pi$, concludi che la singolarità in $z=pi$ è eliminabile.

Per il secondo hai singolarità (tutte isolate) nei punti che annullano il denominatore, ossia $z=k pi$ con $k in ZZ$.
In $z=0$ il coseno non dà problemi, quindi tutto dipende da come si comporta il rapporto $z/(sin z)$: tale rapporto converge, quindi c'è singolarità eliminabile.
D'altra parte, per $z=kpi$ con $k!=0$, il numeratore non si annulla, mentre si annulla il denominatore; visto che gli zeri del seno sono tutti d'ordine finito (in particolare, d'ordine $1$ per il limite fondamentalissimo) allora la tua funzione ha un polo in $z=kpi$ per ogni $k in ZZ$ e $k!=0$.

*** EDIT: mi accorgo solo ora delle modifiche.

Beh, vale lo stesso discorso visto che $(sin z)/(z^2-pi^2)=(sin z)/((z+pi)*(z-pi))$; in $pm pi$ hai due singolarità eliminabili: ti basta adattare il ragionamento precedente.

[ma_ru_6]

"Gugo82":Vedi che è tutta un'applicazione dei limiti fondamentali...

Allora, per il primo fai la sostituzione $zeta=z-pi$, quindi la tua funzione diventa $(sin (zeta+pi))/zeta=(-sin zeta)/zeta$ la quale ha una singolarità eliminabile (per il limite fondamentalissimo del seno) in $zeta=0$; quindi, tornando alla variabile $z=zeta+pi$, concludi che la singolarità in $z=pi$ è eliminabile.

Per il secondo hai singolarità (tutte isolate) nei punti che annullano il denominatore, ossia $z=k pi$ con $k in ZZ$.
In $z=0$ il coseno non dà problemi, quindi tutto dipende da come si comporta il rapporto $z/(sin z)$: tale rapporto converge, quindi c'è singolarità eliminabile.
D'altra parte, per $z=kpi$ con $k!=0$, il numeratore non si annulla, mentre si annulla il denominatore; visto che gli zeri del seno sono tutti d'ordine finito (in particolare, d'ordine $1$ per il limite fondamentalissimo) allora la tua funzione ha un polo in $z=kpi$ per ogni $k in ZZ$ e $k!=0$.

*** EDIT: mi accorgo solo ora delle modifiche.

Beh, vale lo stesso discorso visto che $(sin z)/(z^2-pi^2)=(sin z)/((z+pi)*(z-pi))$; in $pm pi$ hai due singolarità eliminabili: ti basta adattare il ragionamento precedente.

OK e se avessi avuto al secondo esempio il sen al quadrato ???????????????????????????????????????

[gugo82]

Beh, se avessi avuto $z/(sin^2 z)$ sarebbe bastato notare che $z/(sin^2z)=z/(sin z)*1/(sinz)$ per dire che il polo in $z=0$ sarebbe stato d'ordine $1$ e che i rimanenti sarebbero stati d'ordine $2$.

Una regola generale, è questa: se hai un rapporto $(f(z))/(g(z))$ che ha un punto $z_0$ in cui la situazione è "dubbia", allora:

- $z_0$ è un polo d'ordine $n$ se $g$ ha in $z_0$ uno zero d'ordine $n$ e se $f$ è continua e non nulla in $z_0$;

- $z_0$ è un polo d'ordine $n-m$ se $g$ ha in $z_0$ uno zero d'ordine $n$ e se $f$ ha uno zero d'ordine $m
- $z_0$ è una singolarità eliminabile se $g$ ha in $z_0$ uno zero d'ordine $n$ e se $f$ ha uno zero d'ordine $m>=n$ in $z_0$;

altre regolette del genere le trovi sui libri.

[ma_ru_6]

"Gugo82":Beh, se avessi avuto $z/(sin^2 z)$ sarebbe bastato notare che $z/(sin^2z)=z/(sin z)*1/(sinz)$ per dire che il polo in $z=0$ sarebbe stato d'ordine $1$ e che i rimanenti sarebbero stati d'ordine $2$.

Una regola generale, è questa: se hai un rapporto $(f(z))/(g(z))$ che ha un punto $z_0$ in cui la situazione è "dubbia", allora:

- $z_0$ è un polo d'ordine $n$ se $g$ ha in $z_0$ uno zero d'ordine $n$ e se $f$ è continua e non nulla in $z_0$;

- $z_0$ è un polo d'ordine $n-m$ se $g$ ha in $z_0$ uno zero d'ordine $n$ e se $f$ ha uno zero d'ordine $m
- $z_0$ è una singolarità eliminabile se $g$ ha in $z_0$ uno zero d'ordine $n$ e se $f$ ha uno zero d'ordine $m>=n$ in $z_0$;

altre regolette del genere le trovi sui libri.

Grazie tante anche se ho girato un bel pò e ho trovato solo qualcosa di simile alla regoletta da te riportata non è che ne sai altre ???

[gugo82]

Di solito si imparano con l'esperienza; ho fatto l'esame di Analisi Complessa un po' di tempo fa, quindi ora non me ne sovvengono...

Potresti provare su qualche libro; io usavo Complementi di Analisi di D. Greco, ma non ricordo se queste cose c'erano o meno.
Potresti provare su qualche libro per ingegneri, tipo il Metodi Matematici... di Barozzi.

[ma_ru_6]

"Gugo82":Beh, se avessi avuto $z/(sin^2 z)$ sarebbe bastato notare che $z/(sin^2z)=z/(sin z)*1/(sinz)$ per dire che il polo in $z=0$ sarebbe stato d'ordine $1$ e che i rimanenti sarebbero stati d'ordine $2$.

Una regola generale, è questa: se hai un rapporto $(f(z))/(g(z))$ che ha un punto $z_0$ in cui la situazione è "dubbia", allora:

- $z_0$ è un polo d'ordine $n$ se $g$ ha in $z_0$ uno zero d'ordine $n$ e se $f$ è continua e non nulla in $z_0$;

- $z_0$ è un polo d'ordine $n-m$ se $g$ ha in $z_0$ uno zero d'ordine $n$ e se $f$ ha uno zero d'ordine $m
- $z_0$ è una singolarità eliminabile se $g$ ha in $z_0$ uno zero d'ordine $n$ e se $f$ ha uno zero d'ordine $m>=n$ in $z_0$;

altre regolette del genere le trovi sui libri.

Susa è ma riflettendo perchè in 0 sarebbe di ordine 1 e poi diventa di ordine due per gli altri k ??? Non è di ordine 2 anche in 0????

[ma_ru_6]

"ma_ru_6":[quote="Gugo82"]Beh, se avessi avuto $z/(sin^2 z)$ sarebbe bastato notare che $z/(sin^2z)=z/(sin z)*1/(sinz)$ per dire che il polo in $z=0$ sarebbe stato d'ordine $1$ e che i rimanenti sarebbero stati d'ordine $2$.

Una regola generale, è questa: se hai un rapporto $(f(z))/(g(z))$ che ha un punto $z_0$ in cui la situazione è "dubbia", allora:

- $z_0$ è un polo d'ordine $n$ se $g$ ha in $z_0$ uno zero d'ordine $n$ e se $f$ è continua e non nulla in $z_0$;

- $z_0$ è un polo d'ordine $n-m$ se $g$ ha in $z_0$ uno zero d'ordine $n$ e se $f$ ha uno zero d'ordine $m
- $z_0$ è una singolarità eliminabile se $g$ ha in $z_0$ uno zero d'ordine $n$ e se $f$ ha uno zero d'ordine $m>=n$ in $z_0$;

altre regolette del genere le trovi sui libri.

Susa è ma riflettendo perchè in 0 sarebbe di ordine 1 e poi diventa di ordine due per gli altri k ??? Non è di ordine 2 anche in 0????[/quote]
Scusa di nuovo senza che mi rispondi di nuovo mi sono accorto da solo che si applica proprio la regola da te prima illustratami