Singolarità essenziali, rimovibili, poli
Come da titolo, desideravo chiedervi quali siano le differenze tra queste singolarità e come fare per determinare la natura degli zeri per il calcolo successivo di un residuo. Inoltre, quale siano le formule ( teorema dei residui) da applicare nei singoli casi. Lo chiedo in quanto dopo numerosi esercizi ( e altrettante richieste di "aiuto"), sto trovando difficoltà nel capirne i concetti. Per farvi un esempio: vi è un esercizio in cui la funzione integranda è:
$\frac {x^(-\alpha)}{1+x}$ e l'integrale deve essere calcolato da 0 a +oo, dove a è un numero compreso tra 0 e 1.
Però, graficamente non viene rappresentata da una circonferenza ( normale) chiusa: al centro della circonferenza più grande, al centro degli assi ortagonali, vi è un'altra circonferenza non chiusa, piccola, attorno al "centro". Credo in inglese chiamino ciò "keyhole". Perchè questa funzione viene raffigurata così?
vi ringrazio per le risposte.
Alex
$\frac {x^(-\alpha)}{1+x}$ e l'integrale deve essere calcolato da 0 a +oo, dove a è un numero compreso tra 0 e 1.
Però, graficamente non viene rappresentata da una circonferenza ( normale) chiusa: al centro della circonferenza più grande, al centro degli assi ortagonali, vi è un'altra circonferenza non chiusa, piccola, attorno al "centro". Credo in inglese chiamino ciò "keyhole". Perchè questa funzione viene raffigurata così?
vi ringrazio per le risposte.
Alex
Risposte
Di formula per calcolare il residuo ce n'è una sola, ed è quella che sai.
L'integrale che hai sotto mano è uno di quelli bruttini da spiegare... Il problema fondamentale è che la potenza complessa ad esponente non intero \(z^\alpha := e^{\alpha\ \log z}\) è una funzione polidroma, ossia ha più di una determinazione olomorfa, e le sue determinazioni si scambiano non appena un punto mobile cominci a girare attorno all'origine (lo stesso fenomeno avviene per il logaritmo complesso).
Quindi quando calcoli un integrale in cui c'è una potenza del tipo suddetto, soprattutto quando \(\alpha\) non è nemmeno razionale, devi impedire alla variabile d'integrazione di compiere percorsi chiusi intorno all'origine (altrimenti la polidromia ti crea problemi...); quindi il contorno di integrazione che scegli non deve assolutamente circondare l'origine.
L'integrale che hai sotto mano è uno di quelli bruttini da spiegare... Il problema fondamentale è che la potenza complessa ad esponente non intero \(z^\alpha := e^{\alpha\ \log z}\) è una funzione polidroma, ossia ha più di una determinazione olomorfa, e le sue determinazioni si scambiano non appena un punto mobile cominci a girare attorno all'origine (lo stesso fenomeno avviene per il logaritmo complesso).
Quindi quando calcoli un integrale in cui c'è una potenza del tipo suddetto, soprattutto quando \(\alpha\) non è nemmeno razionale, devi impedire alla variabile d'integrazione di compiere percorsi chiusi intorno all'origine (altrimenti la polidromia ti crea problemi...); quindi il contorno di integrazione che scegli non deve assolutamente circondare l'origine.
Quindi il discorso del keyhole contour riguarda funzioni di questo tipo? Potrei chiederti un'altra cosa, gugo? Per quanto riguarda il lemma di Jordan, per essere applicato, cosa devo considerare? in caso potresti farmi anche un esempio d'applicazione? grazie.
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