Singolarità essenziali
Date $f,g in H(Omega)$ (ove $Omega sub CC "aperto"$) non identicamente nulle
in un opportuno insieme considero $f/g$.
Allora $f/g$ non ha singolarità essenziali.
Non riesco a motivarlo.
in un opportuno insieme considero $f/g$.
Allora $f/g$ non ha singolarità essenziali.
Non riesco a motivarlo.
Risposte
Gaal correggimi di nuovo se sbaglio hai visto che sono un facilone! 
spero inoltre che per $H(Omega)$ intendi le funzioni olomorfe su $Omega$ (da noi le indicano $ O(Omega)$)
c'è una singolarità essenziale di $F$ in $z_0$ quando il limite $lim_(z->z_0)F(z)$ non esiste.
nel tuo caso $lim_(z->z_0)(f/g) =(lim_(z->z_0)f)/(lim_(z->z_0)g)$ entrambi i limiti esistono sempre, gli unici problemi sono quando g=0 ma in quel caso hai un polo.
che dici? mi pare che funzioni, ciao
spero inoltre che per $H(Omega)$ intendi le funzioni olomorfe su $Omega$ (da noi le indicano $ O(Omega)$)
c'è una singolarità essenziale di $F$ in $z_0$ quando il limite $lim_(z->z_0)F(z)$ non esiste.
nel tuo caso $lim_(z->z_0)(f/g) =(lim_(z->z_0)f)/(lim_(z->z_0)g)$ entrambi i limiti esistono sempre, gli unici problemi sono quando g=0 ma in quel caso hai un polo.
che dici? mi pare che funzioni, ciao
perchè il $lim_(z to z_0) F(z)$ esiste sempre?
se per ipotesi è analitica...allora la dimostrazione sembra giusta 
Quindi abbiamo dimostrato che non ci sono singolarità essenziali in $Omega$. Ma come possiamo sapere che non ha singolarità essenziali in $CC$?
Direi che non possiamo.
Direi che non possiamo.
no, possiamo dimostrare solo che non ha singolarità essenziali in $Omega$ 
"rubik":
Gaal correggimi di nuovo se sbaglio hai visto che sono un facilone!
spero inoltre che per $H(Omega)$ intendi le funzioni olomorfe su $Omega$ (da noi le indicano $ O(Omega)$)
c'è una singolarità essenziale di $F$ in $z_0$ quando il limite $lim_(z->z_0)F(z)$ non esiste.
nel tuo caso $lim_(z->z_0)(f/g) =(lim_(z->z_0)f)/(lim_(z->z_0)g)$ entrambi i limiti esistono sempre; gli unici problemi sono quando $g(z_0)=0$, ma in quel caso hai un polo.
che dici? mi pare che funzioni, ciao
Hai un polo perchè $g$, essendo olomorfa e non ovunque nulla in $Omega$, possiede in $Omega$ solo zeri d'ordine finito.
Bene così, dico io.
Ho compreso e sono d'accordo sul fatto che la $g$ ha solo zeri di ordine finito. che al denominatore si trasformano in poli di ordine finito. Quindi le uniche singolarità essenziali possono venire dalla $f$.
Non riesco a capire (mi sono accorto ora che su ho sbagliato a scrivere) perchè esiste sempre $lim_(z to z_0) f(z)$
Non riesco a capire (mi sono accorto ora che su ho sbagliato a scrivere) perchè esiste sempre $lim_(z to z_0) f(z)$
Perché $f$ è analitica e quindi in particolare continua?
(In $\Omega$, naturalmente, fuori non puoi dire nulla)
(In $\Omega$, naturalmente, fuori non puoi dire nulla)
Ah, e non e detto che tu abbia un polo quando $g(z_0) = 0$. Se anche la $f$ si annulla in $z_0$ hai 2 casi a seconda che lo zero abbia ordine maggiore per $g$ o per $f$:
- ordine di $z_0$ come zero per $g$ $>$ ordine per $f$ --> polo
- ordine per $g$ $\leq$ ordine per $f$ --> singolarità eliminabile (quando la disuguaglianza è stretta ottieni uno zero)
Pensa ad esempio a $f = sin(z)$ e $g = z$...
- ordine di $z_0$ come zero per $g$ $>$ ordine per $f$ --> polo
- ordine per $g$ $\leq$ ordine per $f$ --> singolarità eliminabile (quando la disuguaglianza è stretta ottieni uno zero)
Pensa ad esempio a $f = sin(z)$ e $g = z$...
Ok, ricapitoliamo.
Date $f,g in H(Omega)$ (@rubik:si, intendo olomorfe) non identicamente nulle
sia $A={z in Omega | g(z)=0}$
allora posso definire $f/g:Omega-A to CC$
la $f$ è continua in tutti i punti di $Omega$, quindi in tutti i punti di $A$, idem la $g$, quindi in $Omega-A$ non ci sono singolarità non eliminabili visto che sempre $EE lim_(z to z_0) (f/g)(z)$
In $A$ la $g$ avrà zeri di ordine finito (diciamo per brevità l'ordine $in ZZ$) (perchè non identicamente nulla), la $f$ avrà zeri di ordine finito, quindi $f/g$ avrà zeri di ordine finito. (Dove per zeri di ordine negativo si intende il polo dell'ordine opposto).
Quindi non ci sono singolarità essenziali in $Omega$.
Il mio problema è a questo punto: perchè $f/g$ non ha singolarità essenziali in $CC-Omega$?
Ad esempio: $f(z)=sin(1/z)$ e $g(z)=1$ sono olomorfe in $CC-{0}$, ma $f/g$ presenta una singolarità essenziale.
Quindi sono portato a concludere che l'unica conseguenza possibile delle mie ipotesi sia quella in grassetto. A meno di aggiungere prive di singolarità essenziali per la $f$ e la $g$.
Date $f,g in H(Omega)$ (@rubik:si, intendo olomorfe) non identicamente nulle
sia $A={z in Omega | g(z)=0}$
allora posso definire $f/g:Omega-A to CC$
la $f$ è continua in tutti i punti di $Omega$, quindi in tutti i punti di $A$, idem la $g$, quindi in $Omega-A$ non ci sono singolarità non eliminabili visto che sempre $EE lim_(z to z_0) (f/g)(z)$
In $A$ la $g$ avrà zeri di ordine finito (diciamo per brevità l'ordine $in ZZ$) (perchè non identicamente nulla), la $f$ avrà zeri di ordine finito, quindi $f/g$ avrà zeri di ordine finito. (Dove per zeri di ordine negativo si intende il polo dell'ordine opposto).
Quindi non ci sono singolarità essenziali in $Omega$.
Il mio problema è a questo punto: perchè $f/g$ non ha singolarità essenziali in $CC-Omega$?
Ad esempio: $f(z)=sin(1/z)$ e $g(z)=1$ sono olomorfe in $CC-{0}$, ma $f/g$ presenta una singolarità essenziale.
Quindi sono portato a concludere che l'unica conseguenza possibile delle mie ipotesi sia quella in grassetto. A meno di aggiungere prive di singolarità essenziali per la $f$ e la $g$.
Beh, certo, ma non ha nemmeno senso considerarle la $f$ e la $g$ fuori da $\Omega$.
Se dico che $f \in H(\Omega)$ sto dicendo che $f$ è una funzione $\Omega \to CC$ olomorfa (nel suo dominio di definizione). Per quanto ne so, potrebbe anche non essere (ben) definita fuori da $\Omega$ (ad esempio se prendo il logaritmo complesso su $CC \setminus \text{semiretta per l'origine}$, poi non lo posso mica prolungare!)
Se dico che $f \in H(\Omega)$ sto dicendo che $f$ è una funzione $\Omega \to CC$ olomorfa (nel suo dominio di definizione). Per quanto ne so, potrebbe anche non essere (ben) definita fuori da $\Omega$ (ad esempio se prendo il logaritmo complesso su $CC \setminus \text{semiretta per l'origine}$, poi non lo posso mica prolungare!)
Bene.
A questo punto però il prof faceva il seguente corollario.
Non è possibile scrivere $sin(1/z)$ come rapporto di funzioni olomorfe, perchè altrimenti non avremmo singolarità essenziali, contro il fatto che 0 lo è.
Il teorema quindi cade...?
E soprattutto non riesco a fare chiarezza sugli insiemi di definizione di tutt'e tre.
A questo punto però il prof faceva il seguente corollario.
Non è possibile scrivere $sin(1/z)$ come rapporto di funzioni olomorfe, perchè altrimenti non avremmo singolarità essenziali, contro il fatto che 0 lo è.
Il teorema quindi cade...?
E soprattutto non riesco a fare chiarezza sugli insiemi di definizione di tutt'e tre.
Ok, lì però hai un punto isolato!
Non puoi considerare come dominio il dominio "di arrivo" per fare un esempio del genere, devi togliere i "buchi" (cioè le singolarità isolate della funzione risultante).
Se ben interpreto, il tuo prof. stava dicendo: non posso scrivere la funzione $sin(1/z)$ su tutto $CC$ (o in un intorno di $0$, che tanto il problema è lì!!!) come rapporto di due funzioni olomorfe su $CC$.
In pratica sta prendendo $\Omega = CC$ e sta dicendo: supponiamo per assurdo che $sin(1/z) = f(z) / g(z)$ dove $f$, $g$ sono olomorfe su tutto $CC$. Allora le singolarità di $sin(1/z)$ possono solo essere poli, e abbiamo una contraddizione.
Su $CC \setminus {0}$ chiaramente non funziona, infatti in quell'insieme puoi scrivere la funzione $sin(1/z)$ come rapporto di funzioni olomorfe su $CC \setminus {0}$.
Non puoi considerare come dominio il dominio "di arrivo" per fare un esempio del genere, devi togliere i "buchi" (cioè le singolarità isolate della funzione risultante).
Se ben interpreto, il tuo prof. stava dicendo: non posso scrivere la funzione $sin(1/z)$ su tutto $CC$ (o in un intorno di $0$, che tanto il problema è lì!!!) come rapporto di due funzioni olomorfe su $CC$.
In pratica sta prendendo $\Omega = CC$ e sta dicendo: supponiamo per assurdo che $sin(1/z) = f(z) / g(z)$ dove $f$, $g$ sono olomorfe su tutto $CC$. Allora le singolarità di $sin(1/z)$ possono solo essere poli, e abbiamo una contraddizione.
Su $CC \setminus {0}$ chiaramente non funziona, infatti in quell'insieme puoi scrivere la funzione $sin(1/z)$ come rapporto di funzioni olomorfe su $CC \setminus {0}$.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo