Singolarità essenziale
Salve,
oggi mi sono ritrovato a risolvere un esercizio in cui dovevo calcolare il residuo della funzione \(\displaystyle \frac{e^\frac{1}{z^2}}{z^2+7} \)
Il mio professore dice che oltre ai due poli c'è anche una singolarità essenziale nel punto z = 0. Ma in quel punto la funzione non tende a infinito e quindi è un altro polo?
oggi mi sono ritrovato a risolvere un esercizio in cui dovevo calcolare il residuo della funzione \(\displaystyle \frac{e^\frac{1}{z^2}}{z^2+7} \)
Il mio professore dice che oltre ai due poli c'è anche una singolarità essenziale nel punto z = 0. Ma in quel punto la funzione non tende a infinito e quindi è un altro polo?
Risposte
"totoedrm":
Ma in quel punto la funzione non tende a infinito e quindi è un altro polo?
Al numeratore hai quel "fastidioso" (
) $e^(1/z^2)$.[EDIT] Ha ragione Seneca, mi ero dimenticato un pezzo!
Attenzione: la serie è centrata in $0$ quindi la serie di Laurent dovrà essere una serie di potenze del tipo $1/z^k$.
Conosci la serie di $e^(1/z^2)$ e inoltre, se non sbaglio, $1/7 * sum_(k=0)^(+oo) (- (z^2)/7)^k = 1/(z^2 + 7)$.
A questo punto devi moltiplicare alla Cauchy le due serie di potenze cercando di capire quale sarà il coefficiente del termine $1/z$ nella serie prodotto.
Conosci la serie di $e^(1/z^2)$ e inoltre, se non sbaglio, $1/7 * sum_(k=0)^(+oo) (- (z^2)/7)^k = 1/(z^2 + 7)$.
A questo punto devi moltiplicare alla Cauchy le due serie di potenze cercando di capire quale sarà il coefficiente del termine $1/z$ nella serie prodotto.
Per trovare il residuo io utilizzavo al formula del calcolo del residuo di wiki dato che non sono molto pratico di questa parte di matematica...credo di aver afferrato il ragionamento di Seneca ma sinceramente non penso ci sarei mai arrivato in sede di esame...per questo mi premeva sapere se il mio ragionamento è esatto senza dover utilizzare la serie di Laurent...
Non va bene. $z = 0$ è una singolarità essenziale, non polare (quindi quella formula non può essere adoperata). Perché dici che la funzione (o meglio, il modulo della funzione) tende ad infinito?
"Seneca":
Perché dici che la funzione (o meglio, il modulo della funzione) tende ad infinito?
Perchè confonde l'esponenziale complesso con quello reale, probabilmente.
\(\displaystyle e^\frac{1}{z^2} \) a 0 tende ad infinito, il denominatore va a 7, quindi di conseguenza il loro rapporto tende ad infinito...poi ho pensato alla definizione di polo che mi è stata data dal professore(è un polo se la funzione tende a infinito in quel punto) e quindi sono giunto alla mia conclusione...
potresti spiegarmi perchè è essenziale? Nel modo più semplice possibile dato che, come puoi vedere, sto avendo dei grossi problemi...grazie
potresti spiegarmi perchè è essenziale? Nel modo più semplice possibile dato che, come puoi vedere, sto avendo dei grossi problemi...grazie
"totoedrm":
\(\displaystyle e^\frac{1}{z^2} \) a 0 tende ad infinito
Questo è falso.
Un utile esercizio, che fa capire quanto l'eponenziale complesso differisca da quello reale, è il seguente:
Dimostrare che la funzione \(f(z)=e^z\) assume in ogni intorno di \(\infty\) ogni valore in \(\mathbb{C}\setminus \{0\}\) infinite volte.
In altre parole, dimostrare che per ogni \(w\in \mathbb{C}\setminus \{0\}\) esiste una successione di elementi tutti distinti \((z_n) \subseteq \mathbb{C}\) tale che:
\[
f(z_n)=w \qquad \text{e}\qquad \lim_n |z_n|=+\infty\; .
\]
Non ho idea neanche di come cominciare...grazie comunque per l'aiuto...vedrò di imparare qualcosa dai miei libri...
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