Singolarità essenziale
Buongiorno 
. Scusatemi, ho studiato la definizione di singolarità essenziale ma sul materiale di studio non ci sono esempi, esercizi che illustrano come saper riconoscere negli esercizi se un punto di una funzione è una singolarità essenziale per la funzione 
. Si può solamente applicare la definizione di singolarità essenziale o esiste qualche altro metodo o teorema che si può applicare?
Grazie immensamente
. Scusatemi, ho studiato la definizione di singolarità essenziale ma sul materiale di studio non ci sono esempi, esercizi che illustrano come saper riconoscere negli esercizi se un punto di una funzione è una singolarità essenziale per la funzione . Si può solamente applicare la definizione di singolarità essenziale o esiste qualche altro metodo o teorema che si può applicare?Grazie immensamente
Risposte
In generale per capire con che tipo di singolarità si ha a che fare basta fare il limite nel punto considerato, ovvero
Sia $z_0$ una singolarità per $f$ allora:
$$\lim_{z \to z_0} f(z) = \begin{cases} \infty \Rightarrow \text{polo} \\ \quad \\ \nexists \Rightarrow \text{singolarità essenziale} \\ \quad \\ a \ne \infty \Rightarrow \text{singolarità eliminabile} \end{cases} $$
Ad esempio $f(z) = \sin(1/z)$ ha una singolarità essenziale in $z=0$, infatti prova a fare il limite...
P.S. C'è un bel teorema che dice che se la singolarità è essenziale la classe limite di $f$ in quel punto è tutto $\mathbb{C}$.
Sia $z_0$ una singolarità per $f$ allora:
$$\lim_{z \to z_0} f(z) = \begin{cases} \infty \Rightarrow \text{polo} \\ \quad \\ \nexists \Rightarrow \text{singolarità essenziale} \\ \quad \\ a \ne \infty \Rightarrow \text{singolarità eliminabile} \end{cases} $$
Ad esempio $f(z) = \sin(1/z)$ ha una singolarità essenziale in $z=0$, infatti prova a fare il limite...
P.S. C'è un bel teorema che dice che se la singolarità è essenziale la classe limite di $f$ in quel punto è tutto $\mathbb{C}$.
Grazie mille . Chiedo scusa, i tre punti racchiusi nella parentesi graffa da cosa discendono? Si tratta di qualche teorema?
Inoltre il mio forte dubbio è: finora davanti a una funzione integranda di un integrale curvilineo vedevo le singolarità isolate e calcolavo l'ordine dei poli (per applicare il primo teorema dei residui) e non ho mai incontrato e studiato se c'erano singolarità essenziali o eliminabili :/. Lei mi consiglia, quando ho una funzione integranda, di fare come prima cosa il calcolo di quel limite, da Lei scritto, in modo da rendermi conto quale/quali singolarità ha la funzione e in base al tipo di singolarità che ho, procedere in un determinato modo .??
Grazie ancora immensamente
. Chiedo scusa, i tre punti racchiusi nella parentesi graffa da cosa discendono? Si tratta di qualche teorema?Inoltre il mio forte dubbio è: finora davanti a una funzione integranda di un integrale curvilineo vedevo le singolarità isolate e calcolavo l'ordine dei poli (per applicare il primo teorema dei residui) e non ho mai incontrato e studiato se c'erano singolarità essenziali o eliminabili :/. Lei mi consiglia, quando ho una funzione integranda, di fare come prima cosa il calcolo di quel limite, da Lei scritto, in modo da rendermi conto quale/quali singolarità ha la funzione e in base al tipo di singolarità che ho, procedere in un determinato modo
.??Grazie ancora immensamente
Innanzitutto dammi del tu! Sono ancora giovane assai!
I tre punti nelle graffe, date le definizioni di singolarità eliminabile, polo e essenziale, dovrebbero discendere molto facilmente da tali definizioni. Immagino che su qualsiasi libro di analisi complessa sia riportata la dimostrazione ma dovrebbe essere abbastanza facile.
Quando devi effettuare un integrale curvilineo in $\mathbb{C}$ il mio consiglio è di:
1. Determinare tutte le singolarità della funzione nella regione racchiusa dalla curva
2. Classificarle (e il procedimento con il limite fa il suo lavoro)
3. Calcolare i residui, cosa che a volte si fa con pochi sforzi (per i poli ci sono formulette pronte) o addirittura nessuno (per le singolarità eliminabili il residuo è 0) e a volte con fatica (per le singolarità essenziali o si sviluppa in serie di Laurent o si ricorre a qualche "trucco")
Attenzione che qua abbiamo parlato di singolarità e mai di punti di accumulazione di singolarità che sono cosa diversa e più complicata.
I tre punti nelle graffe, date le definizioni di singolarità eliminabile, polo e essenziale, dovrebbero discendere molto facilmente da tali definizioni. Immagino che su qualsiasi libro di analisi complessa sia riportata la dimostrazione ma dovrebbe essere abbastanza facile.
Quando devi effettuare un integrale curvilineo in $\mathbb{C}$ il mio consiglio è di:
1. Determinare tutte le singolarità della funzione nella regione racchiusa dalla curva
2. Classificarle (e il procedimento con il limite fa il suo lavoro)
3. Calcolare i residui, cosa che a volte si fa con pochi sforzi (per i poli ci sono formulette pronte) o addirittura nessuno (per le singolarità eliminabili il residuo è 0) e a volte con fatica (per le singolarità essenziali o si sviluppa in serie di Laurent o si ricorre a qualche "trucco")
Attenzione che qua abbiamo parlato di singolarità e mai di punti di accumulazione di singolarità che sono cosa diversa e più complicata.
Ok 
.
Scusami, utilizzando la definizione non mi è chiaro il perchè si ha il terzo punto delle graffe
. Solo se puoi dedicarmi qualche minuto, posso chiederti il perchè si ha quel terzo punto?
Perchè per le singolarità eliminabili il residuo è 0?
Grazie immensamente
. Scusami, utilizzando la definizione non mi è chiaro il perchè si ha il terzo punto delle graffe
. Solo se puoi dedicarmi qualche minuto, posso chiederti il perchè si ha quel terzo punto?Perchè per le singolarità eliminabili il residuo è 0?
Grazie immensamente
Ho trovato tre teoremi per i tre punti delle parenesi graffe 
.
Però non mi è chiaro il perchè per le singolarità eliminabili il residuo è 0 :/.
Grazie ancora tantissssssssssssssssssssssssimo
. Però non mi è chiaro il perchè per le singolarità eliminabili il residuo è 0 :/
.Grazie ancora tantissssssssssssssssssssssssimo
Stavo per aprire un topic simile quindi mi accodo anche io. In particolare stavo cercando di classificare la singolarità in \(\displaystyle x=0 \) di :
facendo il limite come suggerito da @Bremen000 (applicando de l'Hopital) si vede che :
quindi, in teoria, \(\displaystyle x=0 \) è un polo per \(\displaystyle f(x) \), tuttavia applicando la definizione di polo si vede che :
e (per definizione) "un punto \(\displaystyle x_0 \) è un polo di ordine \(\displaystyle m \) per \(\displaystyle f(x) \) se esiste un \(\displaystyle m \in \mathbb{N}^{+} \) tale che \(\displaystyle (x-x_0)^m\; f(x) \to l \neq 0 \)".
\(\displaystyle f(x) = \frac{log(x)}{(1+x^2)\sqrt{x}} \)
facendo il limite come suggerito da @Bremen000 (applicando de l'Hopital) si vede che :
\(\displaystyle \lim_{x \to 0} f(x) \to \infty \)
quindi, in teoria, \(\displaystyle x=0 \) è un polo per \(\displaystyle f(x) \), tuttavia applicando la definizione di polo si vede che :
\(\displaystyle \lim_{x \to 0} x^m \cdot f(x) = 0 \;\;\;\; \forall m \in \mathbb{N} \)
e (per definizione) "un punto \(\displaystyle x_0 \) è un polo di ordine \(\displaystyle m \) per \(\displaystyle f(x) \) se esiste un \(\displaystyle m \in \mathbb{N}^{+} \) tale che \(\displaystyle (x-x_0)^m\; f(x) \to l \neq 0 \)".
Attenzione che per la funzione considerata lo $0$ non è una singolarità isolata! E dunque non vale la classificazione polo ecc...
Per il dubbio su singolarità eliminabile (al finito) implica residuo uguale 0 provate ad applicare la definizione!
Per il dubbio su singolarità eliminabile (al finito) implica residuo uguale 0 provate ad applicare la definizione!
Scusami l'ignoranza mia in merito, perchè 0 non è singolarità isolata?
I punti di diramazione non sono singolarità isolate poiché non esiste un intorno di essi in cui la funzione sia regolare ma non ne so molto di più sull'argomento...
Scusami, cosa sono i punti di diramazione? Non ho mai incontrato tale definizione.
Grazie mille ^_^
Grazie mille ^_^
Un punto di diramazione è un punto tale per cui, effettuandoci un giro completo attorno, il valore assunto da una funzione cambia con continuità e dunque ci si ritrova nello stesso punto del piano complesso con la medesima funzione che assume più valori distinti in quel punto. Le funzioni che hanno questo comportamento sono dette polidrome (logaritmo e radice quelle più famose). Non ho la pretesa che quella data sia una definizione formale ma è per rendere l'idea; sono sicuro che un testo di analisi complessa (o ti metodi matematici per l'ingegneria) tratti questo argomento!
Grazie della spiegazione, il mio libro non ne parla, ma sono molte le cose che tralascia quindi non mi stupisco più di tanto..
Chiedo scusa, se ho capito bene la funzione radice è una funzione polidroma e quindi per essa si parla di punto di diramazione al posto di singolarità. Quindi se per esempio nella funzione integranda di un integrale curvilineo compare $root(n)(z)$ allora abbiamo che z = 0 è punto di diramazione?
Grazie immensamente
Grazie immensamente
Esatto, da quel che so i punti di diramazione sono punti di accumulazione di singolarità e dunque non singolarità isolate.
Ad esempio $0$ è punto di diramazione per $z^{\alpha}$ con $\alpha$ non intero e per $log(z)$
Ad esempio $0$ è punto di diramazione per $z^{\alpha}$ con $\alpha$ non intero e per $log(z)$
Grazie tantissssssssssime, Bremen000 ^_^. Per il logaritmo mi è chiarisssssimo però perchè 0 è punto di diramazione per la funzione $z^\alpha$ con $\alpha$ non intero?
Ti chiedo scusa se il mio dubbio può essere stupido... ho pensato che per 0 comunque la funzione $z^\alpha$ con $\alpha$ non intero esiste (mentre nel caso del logaritmo ho pensato che il punto z=0 è di diramazione in quanto in tale punto la funzione logaritmo non esiste) ..
Grazie immensamente
Ti chiedo scusa se il mio dubbio può essere stupido
... ho pensato che per 0 comunque la funzione $z^\alpha$ con $\alpha$ non intero esiste (mentre nel caso del logaritmo ho pensato che il punto z=0 è di diramazione in quanto in tale punto la funzione logaritmo non esiste) ..Grazie immensamente
No, il fatto che sia diramazione o meno non ha a che fare con i limiti in quel punto...cerca (anche su internet) "funzione polidroma", vedrai che salta fuori quell'esempio e ci sono fiumi di parole che spiegano molto meglio di come si possa fare in due righe qua! Se poi hai dubbi, chiedi pure!
Buongiorno ^_^. Scusami, io allora erroneamente avevo pensato che per trovare il punto di diramazione delle funzioni polidrome come logaritmo, funzione potenza non intera bisognasse in un certo senso vedere il campo di esistenza della funzione (come ad esempio log(z) non esiste se z=0) e il punto da escludere per l'esistenza (quello che "non fa esistere" la funzione) era punto di diramazione :/ ..
Quindi ora un mio dubbio è : come faccio a sapere, quando ho una funzione polidroma davanti, quale o quali sono i suoi punti di diramazione?
Grazie immensamente
.. Quindi ora un mio dubbio è
: come faccio a sapere, quando ho una funzione polidroma davanti, quale o quali sono i suoi punti di diramazione? Grazie immensamente
Secondo me è sufficiente sapere che logaritmo e potenze non intere sono polidrome e quando incontri una di queste o una loro combinazione sai che sono polidrome e il punto di diramazione è quello dove l'argomento delle funzioni in questione si annulla.
Ahhhhh ecco ^___^ grazieeee ^_^. Sei gentilissssssssssssimo ^_^. L'argomento dei punti di diramazione non è afffffffatto presente nel materiale di studio e quindi mi sto trovando a "scoprire" cose nuove
Quindi ad esempio se abbiamo log (z+5) allora il z = -5 è punto di diramazione
oppure se abbiamo $z^\(alpha-2)$ con $\alpha-2$ non intera allora z = 0 è punto di diramazione, giusto?
Ancora grazie tantissssssssssssime
Quindi ad esempio se abbiamo log (z+5) allora il z = -5 è punto di diramazione
oppure se abbiamo $z^\(alpha-2)$ con $\alpha-2$ non intera allora z = 0 è punto di diramazione, giusto
?Ancora grazie tantissssssssssssime
Giusto!
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