Singolarità essenziale??
Ho un dubbio su un esercizio di analisi complessa.
L'esercizio consiste nello studiare le singolarità della funzione $f(z)=\frac{e^{-\frac{1}{z^2}}}{z}$.
Andando a calcolare $\lim_{z\to 0}|f(z)|$ risulta che tale limite non esiste, e perciò $z=0$ è singolarità essenziale per $f(z)$, e su questo non c'è dubbio.
Ma se volessi verificare tale proprietà attraverso lo sviluppo in serie di Laurent?
Sulla soluzione dell'esercizio è riportato che
$$e^{-\frac{1}{z^2}}=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k\frac{1}{k!z^{2k}}$$
Ma questo altro non è che lo sviluppo di Taylor di $e^t$, centrato in $t=0$, con $t=-\frac{1}{z^2}$! Per cui, quello sviluppo in serie,dovrebbe essere centrato in $z=\infty$, e non mi dà alcuna informazione su $z=0$!!! dove sbaglio??
Grazie,
Andrea
L'esercizio consiste nello studiare le singolarità della funzione $f(z)=\frac{e^{-\frac{1}{z^2}}}{z}$.
Andando a calcolare $\lim_{z\to 0}|f(z)|$ risulta che tale limite non esiste, e perciò $z=0$ è singolarità essenziale per $f(z)$, e su questo non c'è dubbio.
Ma se volessi verificare tale proprietà attraverso lo sviluppo in serie di Laurent?
Sulla soluzione dell'esercizio è riportato che
$$e^{-\frac{1}{z^2}}=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k\frac{1}{k!z^{2k}}$$
Ma questo altro non è che lo sviluppo di Taylor di $e^t$, centrato in $t=0$, con $t=-\frac{1}{z^2}$! Per cui, quello sviluppo in serie,dovrebbe essere centrato in $z=\infty$, e non mi dà alcuna informazione su $z=0$!!! dove sbaglio??
Grazie,
Andrea
Risposte
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Lo sviluppo di \(\mathbf{e}^{-1/z^2}\) che hai trovato è proprio lo sviluppo di Laurent che ti interessa.
Infatti, dato che lo sviluppo di Laurent è unico, il modo in cui lo ottieni non è importante.
Infatti, dato che lo sviluppo di Laurent è unico, il modo in cui lo ottieni non è importante.
"gugo82":
Lo sviluppo di \(\mathbf{e}^{-1/z^2}\) che hai trovato è proprio lo sviluppo di Laurent che ti interessa.
Infatti, dato che lo sviluppo di Laurent è unico, il modo in cui lo ottieni non è importante.
Perciò, lo sviluppo
$$e^t=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{t^n}{n!}$$
Vale sia per $t=0$ che per $t=\infty$?
Certo... Infatti, dato che \(\mathbf{e}^t\) è intera (lo sviluppo di MacLaurin converge ovunque nel piano) lo sviluppo in serie:
\[
\mathbf{e}^t = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}\ t^n
\]
è sia lo sviluppo in serie di Taylor centrato in \(0\) sia lo sviluppo in serie di Laurent centrato in \(\infty\) (ricorda che gli sviluppi in serie di Laurent centrati in \(\infty\) contengono le potenze positive della variabile!)
\[
\mathbf{e}^t = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}\ t^n
\]
è sia lo sviluppo in serie di Taylor centrato in \(0\) sia lo sviluppo in serie di Laurent centrato in \(\infty\) (ricorda che gli sviluppi in serie di Laurent centrati in \(\infty\) contengono le potenze positive della variabile!)
Grazie mille, tutto chiaro!
Mi aggancio all'esempio di questo thread perchè ho un problema molto simile.
Ho letto le risposte di gugo82, ma c'è una cosa che ancora non capisco:
la funzione \( \mathbf{e}^{-1/z^2} \) non è intera, quindi come possiamo affermare che il suo sviluppo in $z= \infty$ valga anche in $z=0$?
Mi rendo conto che possiamo effettuare la sostituzione $t=-1/z^2$, cioè a livello di conti mi torna, ma concettualmente non riesco a giustificarmelo, mi sembra di "barare"
Ho letto le risposte di gugo82, ma c'è una cosa che ancora non capisco:
la funzione \( \mathbf{e}^{-1/z^2} \) non è intera, quindi come possiamo affermare che il suo sviluppo in $z= \infty$ valga anche in $z=0$?
Mi rendo conto che possiamo effettuare la sostituzione $t=-1/z^2$, cioè a livello di conti mi torna, ma concettualmente non riesco a giustificarmelo, mi sembra di "barare"
"v3ct0r":
Mi aggancio all'esempio di questo thread perchè ho un problema molto simile.
Ho letto le risposte di gugo82, ma c'è una cosa che ancora non capisco:
la funzione \( \mathbf{e}^{-1/z^2} \) non è intera, quindi come possiamo affermare che il suo sviluppo in $z= \infty$ valga anche in $z=0$?
Mi rendo conto che possiamo effettuare la sostituzione $t=-1/z^2$, cioè a livello di conti mi torna, ma concettualmente non riesco a giustificarmelo, mi sembra di "barare"
Lo sviluppo
$$e^t=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{t^n}{n!}$$
Vale per $|t|<\infty$ (il raggio di convergenza $R=\infty$). Se sostituisci nello sviluppo $t=-\frac{1}{z^2}$, hai che esso vale per $\frac{1}{z^2}<\infty$, cioè per $|z|>0$.
Ah perfetto, non mi era venuto in mente di giocare con il raggio di convergenza. Grazie!
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