Singolarità eliminabile e integrale tramite residui

[bblack25]

Buonasera a tutti,mi servirebbe aiuto con questo esercizio:
Calcolare gli zeri al numeratore e al denominatore,classificare le singolarità e svolgere il seguente integrale con il teorema dei residui.

$\int_{|z|=9}(zsenz)/(1-cosz) dx$

Al numeratore gli zeri sono:
$zsenz=0 \Rightarrow$ $z=0 uu senz=0$
e cioè: $z=0$ e $z=kpi$ , $AAk in ZZ$

Al denominatore invece sono:
$1-cosz=0 \Rightarrow$ $z=2npi$ , $AAn in ZZ$

A questo punto $z=2npi$ dovrebbe essere un polo del primo ordine e dovrei vedere se la singolarità è interna al mio dominio,giusto?Cioè è interna al dominio solamente per k=1 e k=-1.
Per svolgere l'integrale vero e proprio come posso precedere?
Vi ringrazio dell'aiuto..

[Vanzan]

Non ti sei dimenticato la singolarità in $z=0$?

[gugo82]

L'integrando è olomorfo in \(\Omega = \mathbb{C}\setminus \{2n\pi\}_{n\in \mathbb{Z}}\).
I punti \( z_n:=2n\pi\) con \(n\in \mathbb{Z}\setminus \{0\}\) sono poli del primo ordine, mentre il punto \(z_0=0\) è una singolarità eliminabile.

Dato che \(|z_n|=2|n|\pi\), le uniche singolarità che cadono nel disco \(D(0;9)\) individuato dalla limitazione \(|z|<9\) sono quelle corrispondenti ad indici \(n\neq 0\) tali che \(|n|<\frac{9}{2\pi}\approx 1.432\), ossia a \(n=\pm 1\).
Per il Primo Teorema dei Residui si ha allora:
\[
\int_{+\partial D(0;9)} \frac{z\ \sin z}{1-\cos z}\ \text{d} z = 2\pi\ \imath\ \left( \operatorname{Res}\left( \frac{z\ \sin z}{1-\cos z} ; -2\pi\right) + \operatorname{Res}\left( \frac{z\ \sin z}{1-\cos z} ; 2\pi\right)\right)
\]
ed i residui si calcolano con le solite formulette.

[bblack25]

Ok, grazie.Ma per vedere che $z=0$ è una discontinuità eliminabile devo necessariamente fare $lim_(z->0) (zsenz)/(1-cosz)$ e vedere che esiste ed è finito?Oppure posso accorgermene in un altro modo?E come posso essere sicuro che per un altro valore di $n$ non ci sia un'altra discontinuità eliminabile?
Scusa per le domande, ma vorrei chiarirmi le idee.

[gugo82]

"bblack25":Ok, grazie.Ma per vedere che $z=0$ è una discontinuità eliminabile devo necessariamente fare $lim_(z->0) (zsenz)/(1-cosz)$ e vedere che esiste ed è finito?

Questa è una strada.
Se la vuoi intraprendere, ti basta usare i limiti notevoli così come facevi nel caso reale.

"bblack25":Oppure posso accorgermene in un altro modo?

Beh, potresti ragionare sull'ordine di \(z_0=0\) come zero del numeratore e del denominatore.

"bblack25":E come posso essere sicuro che per un altro valore di $n$ non ci sia un'altra discontinuità eliminabile?

Calcolando il limite anche per \(z\to z_n\) con \(n\neq 0\) oppure ragionando sull'ordine di \(z_n\) come zero del numeratore e del denominatore.

[bblack25]

Ok quindi, ad esempio, poiché per il numeratore $z_0=0$ è uno zero di ordine $2$ (n=2) mentre per il denominatore è di ordine $1$ (m=1) essendo $n>=m$ allora $z_0$ è una singolarità eliminabile.Se fosse stato $n È giusto?

[gugo82]

"bblack25":Ok quindi, ad esempio, poiché per il numeratore $ z_0=0 $ è uno zero di ordine $ 2 $ ($n=2$) mentre per il denominatore è di ordine $ 1 $ ($m=1$) essendo $ n>=m $ allora $ z_0 $ è una singolarità eliminabile.

Meglio che riguardi i conti.

"bblack25":Se fosse stato $ n È giusto?

Certo.

[bblack25]

Si, $z_0$ al denominatore è di ordine 2 perché si comporta come $x^2$ nello sviluppo in serie di Taylor.Grazie mille per l'aiuto!!