Singolarità e residui
Ho dei dubbi su questo esercizio di analisi complessa:
data la funzione $ (z^2)/((e^z - e^(-2+i))*(z+i))$ se ne classifichino le singolarità e se ne determinino i residui nei poli.
Sicuramente il punto $ z=-i$ è un polo, del resto non sono molto sicura: il punto all' $oo$ dovrebbe essere una singolarità essenziale visto che $e^z$ non ammette limite all'$oo$. E' corretto? Inoltre il punto $z=-2+i$ è sicuramente un polo perchè annulla il denominatore ma $e^z$ è una funzione periodica di periodo $2pii$ quindi ci sono più soluzioni; in particolare tutti i punti $z= -2+i+2kpii$ dovrebbero essere poli. Ma in questo caso avrei infiniti poli? Come posso calcolare poi i residui? sicuramente così non è corretto.
data la funzione $ (z^2)/((e^z - e^(-2+i))*(z+i))$ se ne classifichino le singolarità e se ne determinino i residui nei poli.
Sicuramente il punto $ z=-i$ è un polo, del resto non sono molto sicura: il punto all' $oo$ dovrebbe essere una singolarità essenziale visto che $e^z$ non ammette limite all'$oo$. E' corretto? Inoltre il punto $z=-2+i$ è sicuramente un polo perchè annulla il denominatore ma $e^z$ è una funzione periodica di periodo $2pii$ quindi ci sono più soluzioni; in particolare tutti i punti $z= -2+i+2kpii$ dovrebbero essere poli. Ma in questo caso avrei infiniti poli? Come posso calcolare poi i residui? sicuramente così non è corretto.
Risposte
Hai fatto quasi tutto giusto.
I punti al finito che danno fastidio sono [tex]$-\imath$[/tex] e quelli dell'insieme [tex]$\{ -2+(1+2k\pi)\imath\}_{k\in \mathbb{Z}}$[/tex]; poi c'è il punto all'infinito [tex]$\infty$[/tex].
Chiaramente [tex]$-\imath$[/tex] è un polo del primo ordine.
D'altra parte [tex]$-2+\imath$[/tex] è pure esso un polo del primo ordine, poiché infatti:
[tex]$\lim_{z\to -2+\imath} (z+2-\imath)\ \frac{z^2}{(e^z-e^{-2+\imath})(z+\imath)} =\lim_{z\to -2+\imath} \frac{z^2}{e^{-2+\imath}(z+\imath)}\ \frac{z+2-\imath}{e^{z+2-\imath} -1}$[/tex]
[tex]$=\frac{(-2+\imath)^2}{2e^{-2+\imath}(-1+\imath)}\cdot 1$[/tex];
allo stesso modo (e sfruttando la periodicità dell'esponenziale) si stabilisce che ogni punto dell'insieme [tex]$\{ -2+(1+2k\pi)\imath\}_{k\in \mathbb{Z}}$[/tex] è un polo del primo ordine.
Infine, nota che le singolarità dell'insieme [tex]$\{-2+(1+2k\pi)\imath}_{k\in \mathbb{Z}}$[/tex] si accumulano a [tex]$\infty$[/tex], quindi la singolarità [tex]$\infty$[/tex] non è isolata e perciò non è classificabile.
Per quanto riguarda i residui, visto che hai tutti poli del primo ordine, li puoi calcolare facile con la formuletta:
[tex]$\text{Res}(f(z);z_0) =\lim_{z\to z_0} (z-z_0)\ f(z)$[/tex].
I punti al finito che danno fastidio sono [tex]$-\imath$[/tex] e quelli dell'insieme [tex]$\{ -2+(1+2k\pi)\imath\}_{k\in \mathbb{Z}}$[/tex]; poi c'è il punto all'infinito [tex]$\infty$[/tex].
Chiaramente [tex]$-\imath$[/tex] è un polo del primo ordine.
D'altra parte [tex]$-2+\imath$[/tex] è pure esso un polo del primo ordine, poiché infatti:
[tex]$\lim_{z\to -2+\imath} (z+2-\imath)\ \frac{z^2}{(e^z-e^{-2+\imath})(z+\imath)} =\lim_{z\to -2+\imath} \frac{z^2}{e^{-2+\imath}(z+\imath)}\ \frac{z+2-\imath}{e^{z+2-\imath} -1}$[/tex]
[tex]$=\frac{(-2+\imath)^2}{2e^{-2+\imath}(-1+\imath)}\cdot 1$[/tex];
allo stesso modo (e sfruttando la periodicità dell'esponenziale) si stabilisce che ogni punto dell'insieme [tex]$\{ -2+(1+2k\pi)\imath\}_{k\in \mathbb{Z}}$[/tex] è un polo del primo ordine.
Infine, nota che le singolarità dell'insieme [tex]$\{-2+(1+2k\pi)\imath}_{k\in \mathbb{Z}}$[/tex] si accumulano a [tex]$\infty$[/tex], quindi la singolarità [tex]$\infty$[/tex] non è isolata e perciò non è classificabile.
Per quanto riguarda i residui, visto che hai tutti poli del primo ordine, li puoi calcolare facile con la formuletta:
[tex]$\text{Res}(f(z);z_0) =\lim_{z\to z_0} (z-z_0)\ f(z)$[/tex].
grazie mille 
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