Singolarità di una funzione
Salve ragazzi sto svolgendo degli esercizi sullo studio degli zeri e delle singolarità di alcune funzioni e siccome non a disposizione gli svolgimenti e i risultati domando conferma a voi se siano corretti o meno. Allora, prima di postare l'esercizio vorrei delle chiarificazioni teoriche: un punto $z_0$ si dice di singolarità isolata se $EE r>0: |z-z_0|
ESEMPIO:$(e^(2jz)-1)/(2z^2+\piz-(\pi)^2)$.
Di questa funzione ho trovato che gli zeri del numeratore sono i punti $z=k\pi$ con $k in ZZ$.
Gli zeri del denominatore sono invece $z=-\pi; z=\pi/2$.
Ragionando arrivo alla conclusione che l'unico punto in cui la funzione rapporto non è continua è $z=-\pi$ e quindi vado a vaedere se questa singolarità è eliminabile, faccio il limite e mi esce una forma indeterminata $0/0$, applico il teorema di De L'Hopital e trovo che è $!=0$ quindi questa è sing. eliminabile mentre l'altra. $z=\pi/2$ è singolarità essenziale.
E' giusto il ragionamento e come ho proceduto ? Grazie a chi risponderà
ESEMPIO:$(e^(2jz)-1)/(2z^2+\piz-(\pi)^2)$.
Di questa funzione ho trovato che gli zeri del numeratore sono i punti $z=k\pi$ con $k in ZZ$.
Gli zeri del denominatore sono invece $z=-\pi; z=\pi/2$.
Ragionando arrivo alla conclusione che l'unico punto in cui la funzione rapporto non è continua è $z=-\pi$ e quindi vado a vaedere se questa singolarità è eliminabile, faccio il limite e mi esce una forma indeterminata $0/0$, applico il teorema di De L'Hopital e trovo che è $!=0$ quindi questa è sing. eliminabile mentre l'altra. $z=\pi/2$ è singolarità essenziale.
E' giusto il ragionamento e come ho proceduto ? Grazie a chi risponderà
Risposte
Io lascerei da parte la continuità. Secondo me una funzione \(f(z)\) ammette una singolarità isolata in \(w \in \mathbb{C}\) se essa è olomorfa in un intorno bucato di \(w\) ma non è definita in \(w\).
Grazie max per la risposta! Si in effetti era ciò che volevo dire ma forse ho sbagliato ad usare i termini. Quindi il procedimento è giusto?
nessuno può aiutarmi ? 
Salve ragazzi ho quest'altra funzione: $(zsinz)/(1-cosz)$. Presenta in $z=0$ zero di ordine 2 e $z=k\pi$ zeri semplici. Il punto $z=2k\pi$ è uno zero doppio del denominatore. Il mio problema è che il mio libro dice che quelli sono poli semplici. Perchè? Come fazzio a riconoscerli? e come faccio a determinarne l'ordine?
P.S. conosco la definizione di polo, tuttavia mi risulta difficle applicarla perchè ciò vorrebbe dire calcolare i coefficienti della serie di Laurent con indice $n<0$ che non ho mai fatto. Sapreste aiutarmi?
P.S. conosco la definizione di polo, tuttavia mi risulta difficle applicarla perchè ciò vorrebbe dire calcolare i coefficienti della serie di Laurent con indice $n<0$ che non ho mai fatto. Sapreste aiutarmi?
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