Singolarità

[pitty*1]

Cos'è una singolarità di tipo logaritmico?

[gugo82]

Più contesto, please.

[pitty*1]

Le serie di potenze di centro 0 che risolvono l'equazione di Bessel
tu''(t)+u'(t)+tu(t)=0
e l'equazione modificata di Bessel
tu''(t)+u'(t)-tu(t)=0
sono tutte e sole le multiple delle funzioni
$ J(t)=sum_(n = 0)^(n = oo )((-t)^(2)/4 )^(n)/(n!)^(2) $ (funzione di Bessel)
e
$ I(t)=sum_(n = 0)^(n = oo )((t)^(2)/4 )^(n)/(n!)^(2) $ (funzione modificata di Bessel).

La forma normale delle equazioni è singolare nell'origine, per cui non è applicabile la teoria del problema di Cauchy con istante iniziale o finale t=0. D'altra parte la teoria delle equazioni lineari assicura che, su ciascuno degli intervalli $ ( -oo ,0 ) $ e $ ( 0, +oo ) $ separatamente, l'integrale generale di ognuna delle due equazioni è combinazione lineare di due soluzioni indipendenti e una base di soluzioni si può ottenere prendendo J e I nei due casi e aggiungendo una soluzione indipendente da questa. Tale soluzione, necessariamente (?), non ha la forma di serie di potenze con centro nell'origine e raggio di convergenza positivo e si dimostra che essa ha una singolarità di tipo logaritmico (?).