Simpatica serie^^

[in_me_i_trust]

salve a tutti un mio amico che si sta preparando per l'esame di analisi mi ha sottoposto questa serie per la quale bisogna determinare il carattere :
somme[(1/logN)-(1/log(1+N))]
il meglio che sono riuscito a fare è aggeggiarla un po con qualche limite notevole ma non ne esco fuori.credo bisogna usare il confronto ma non so prprio con cosa confrontarla..secondo voi?

[Nidhogg]

$sum_{n=?}^{?}1/(ln(n))-1/(ln(1+n))$

Manca l'intervallo di n in cui determinare il carattere della serie.

[in_me_i_trust]

sbadatone che sono^^ va da 1 a +infinito

[Sk_Anonymous]

Presumo che la sommatoria agisca su $n>=2$,dato che ln(1)=0.
Se cio' e' esatto, si tratta della classica serie "a cannocchiale" percui si ha:
$S_n=1/ln2-1/ln3+1/ln3-1/ln4+....+1/ln(n-1)-1/ln(n)+1/ln(n) -1/ln(n+1)=1/ln2-1/ln(n+1)$
Quindi ,passando al limite per $n->oo$ ,risulta:
$S=lim_(n->oo)S_n=1/ln2$
Archimede

[Nidhogg]

"archimede":Presumo che la sommatoria agisca su $n>=2$,dato che ln(1)=0.
Se cio' e' esatto, si tratta della classica serie "a cannocchiale" percui si ha:
$S_n=1/ln2-1/ln3+1/ln3-1/ln4+....+1/ln(n-1)-1/ln(n)+1/ln(n) -1/ln(n+1)=1/ln2-1/ln(n+1)$
Quindi ,passando al limite per $n->oo$ ,risulta:
$S=lim_(n->oo)S_n=1/ln2$
Archimede

Infatti. Se comunque agisce su $n>=1$, la serie diverge.

Per la serie "a cannocchiale" in questo caso per ogni k, si ha che: $sum_{n=k}^{oo} 1/(ln(n))-1/(ln(n+1))=1/(ln(k))$

[in_me_i_trust]

si scusa lo sfondone va da 2..grazie!