Simmetrie in integrali doppi
Buondì!
Ho un integrale doppio la cui funzione integranda è $f(x,y)=|x|/|y|$ e il cui dominio d'integrazione è $1<=x^2+y^2<=min{2x, -2x}$.
Mi disegno il grafico del dominio e mi accorgo che esso è simmetrico sia rispetto l'asse x e l'asse y. Posso suddividere in dominio in quattro subdomini e scrivere $\sum_{i=1}^4 \int_{D_i} |x|/|y|dxdy$. Il mio dubbio è il seguente: come faccio a giustificare matematicamente che il dominio sia simmetrico e sia possibile dividerlo in questi quattro subdomini? (per cui occorre calcolarsi l'integrale solamente in uno di questi quattro domani e moltiplicare il numero ottenuto per quattro).
Grazie
Ho un integrale doppio la cui funzione integranda è $f(x,y)=|x|/|y|$ e il cui dominio d'integrazione è $1<=x^2+y^2<=min{2x, -2x}$.
Mi disegno il grafico del dominio e mi accorgo che esso è simmetrico sia rispetto l'asse x e l'asse y. Posso suddividere in dominio in quattro subdomini e scrivere $\sum_{i=1}^4 \int_{D_i} |x|/|y|dxdy$. Il mio dubbio è il seguente: come faccio a giustificare matematicamente che il dominio sia simmetrico e sia possibile dividerlo in questi quattro subdomini? (per cui occorre calcolarsi l'integrale solamente in uno di questi quattro domani e moltiplicare il numero ottenuto per quattro).
Grazie
Risposte
Scusa, ma come sarebbe fatto il dominio?
Sei sicuro di aver fatto bene i conti (o di aver scritto bene la traccia)?
Sei sicuro di aver fatto bene i conti (o di aver scritto bene la traccia)?
"Gugo82":
Scusa, ma come sarebbe fatto il dominio?
Sei sicuro di aver fatto bene i conti (o di aver scritto bene la traccia)?
Lo so che dovrei postarvi il disegno del dominio, ma considerando che stento a farlo con carta e penna, figurati col Derive..
Gugo, c'è qualcosa che non ti torna?
Secondo te $min\{2x,-2x\}$ che segno ha?
Devo considerare una volta $2x$ ed un'altra volta $-2x$ ottenendo due circonferenze diverse.
Rispondi alla domanda, non partire per la tangente... Che segno ha $min\{ 2x,-2x\}$?
Distingui i casi $x>0$ e $x<0$, please.
Distingui i casi $x>0$ e $x<0$, please.
Sperando di aver capito 
$2x$ è positivo nel primo e quarto quadrante, negativo altrove.
$-2x$ è positivo nel secondo e nel terzo quadrante, negativo altrove.
$2x$ è positivo nel primo e quarto quadrante, negativo altrove.
$-2x$ è positivo nel secondo e nel terzo quadrante, negativo altrove.
Quindi:
$min\{2x,-2x\}=\{(-2x, ", se " x>=0),(2x, ", se " x<=0):}$
cosicché $min\{ 2x,-2x\}$ è sempre $<=0$.
Ne consegue che la catena di disuguaglianze:
$1<=x^2+y^2<=min\{2x,-2x\}$
non è mai vera.
Quindi o hai trascritto male il testo dell'esercizio oppure il tuo integrale è esteso all'insieme vuoto.
Decidi tu...
$min\{2x,-2x\}=\{(-2x, ", se " x>=0),(2x, ", se " x<=0):}$
cosicché $min\{ 2x,-2x\}$ è sempre $<=0$.
Ne consegue che la catena di disuguaglianze:
$1<=x^2+y^2<=min\{2x,-2x\}$
non è mai vera.
Quindi o hai trascritto male il testo dell'esercizio oppure il tuo integrale è esteso all'insieme vuoto.
Decidi tu...
Mi è venuta in mente una cosa, stamattina all'uni...
Se il dominio dell'integrale fosse stato quello definito dalle limitazioni $min\{2x,-2x\}<=x^2+y^2<=1$, non ci sarebbero stati problemi (perchè?).
Prova a prendere questo come dominio e a vedere che succede.
Se il dominio dell'integrale fosse stato quello definito dalle limitazioni $min\{2x,-2x\}<=x^2+y^2<=1$, non ci sarebbero stati problemi (perchè?).
Prova a prendere questo come dominio e a vedere che succede.
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