Simmetria rispetto a un punto
Ciao! Ho questa funzione:
\(\displaystyle f(x)=\frac{\sqrt{1-|\sin x|}}{\cos x} \)
Indubbiamente è pari, ma poi nella soluzione il professore dice che è simmetrica anche rispetto al punto \(\displaystyle (\frac{\pi}{2},0) \). Da dove gli viene fuori questa cosa? Come si fa in generale a capire se c'è simmetria rispetto a un punto diverso dall'origine?
Grazie mille per l'aiuto!
\(\displaystyle f(x)=\frac{\sqrt{1-|\sin x|}}{\cos x} \)
Indubbiamente è pari, ma poi nella soluzione il professore dice che è simmetrica anche rispetto al punto \(\displaystyle (\frac{\pi}{2},0) \). Da dove gli viene fuori questa cosa? Come si fa in generale a capire se c'è simmetria rispetto a un punto diverso dall'origine?
Grazie mille per l'aiuto!
Risposte
provo ad illustrati le mie considerazioni , prendile con beneficio di inventario in quanto in materia sono solo un profano!
A mio parere la funzione nel punto $x=pi/2$ non e' continua in quanto $lim_(x->(pi/2)^-)((1-|sinx|)^(1/2))/(cosx)=1/(sqrt (2))$ mentre $lim_(x->(pi/2)^+)((1-|sinx|)^(1/2))/(cosx)=-1/(sqrt (2))$, boh forse intende dire che nell'intorno di questo punto $(pi/2,0)$ giacente sull'asse delle $x $, rispetto all'asse delle $x $ si ha $lim_ (x->(pi/2)^-)f (x)=-lim_(x->(pi/2)^+)f (x) $, aspettiamo pareri piu ' autorevoli.
A mio parere la funzione nel punto $x=pi/2$ non e' continua in quanto $lim_(x->(pi/2)^-)((1-|sinx|)^(1/2))/(cosx)=1/(sqrt (2))$ mentre $lim_(x->(pi/2)^+)((1-|sinx|)^(1/2))/(cosx)=-1/(sqrt (2))$, boh forse intende dire che nell'intorno di questo punto $(pi/2,0)$ giacente sull'asse delle $x $, rispetto all'asse delle $x $ si ha $lim_ (x->(pi/2)^-)f (x)=-lim_(x->(pi/2)^+)f (x) $, aspettiamo pareri piu ' autorevoli.
La funzione è simmetrica rispetto a \(\pi/2\) se (e solo se) \(f\left(\pi-x\right)=f(x)\). Nella pratica le simmetrie che uno trova sono sempre di una di queste due forme: o uno calcola \(f(-x)\) (se la funzione è definita su un intervallo simmetrico \((-a, a)\)) o uno calcola \(f(b+a-x)\) (se la funzione è definita su \([a, b]\)).
Si tratta di farci l'occhio, ci vuole un po' di pratica. Ma non è niente di difficile, non ti preoccupare.
Si tratta di farci l'occhio, ci vuole un po' di pratica. Ma non è niente di difficile, non ti preoccupare.
A mio parere penso che intenda un'altra cosa: la funzione è periodica (di periodo $2pi$) e quindi ha una simmetria centrale in quel punto (ed in tutti i punti $pi/2+2kpi$) oltre ad avere simmetria assiale non solo in $x=0$ (e quindi è pari) ma anche in tutti i punti $2kpi$.
Cordialmente, Alex
EDIT: mi riferivo a francicko
Cordialmente, Alex
EDIT: mi riferivo a francicko
X@axpgn, scusa ma se faccio passare per il punto di ascissa $pi/2,0$ un asse parallelo all'asse $y $ io dal grafico della funzione non rilevo nessuna simmetria rispetto all'asse verticale, ma solo nei punti di ascissa $2kpi,0$
Se rileggi bene il post ho parlato di "simmetria centrale" per quel punto (e multipli) mentre ho parlato di "simmetria assiale" per l'asse $y$ (e multipli).
E questo penso intendesse il prof ...
Cordialmente, Alex
E questo penso intendesse il prof ...
Cordialmente, Alex
Scusa se insisto, allora le considerazioni che ho riportato all'inizio sono giuste o errate?
Non penso che il limite conti qualcosa in questo caso ... IMHO ...
X@axpgn. Scusa ma per te la funzione nel punto di ascissa $x=pi/2$ e' continua?
Ho capito! Grazie mille! 
@francicko
È ininfluente rispetto all'oggetto del discorso ...
In quel punto non è definita quindi non è continua ma non ci interessa perché accadra lo stesso nel suo simmetrico
Cordialmente, Alex
È ininfluente rispetto all'oggetto del discorso ...
In quel punto non è definita quindi non è continua ma non ci interessa perché accadra lo stesso nel suo simmetrico
Cordialmente, Alex
Ok! Allora se io prendo ad esempio la funzione periodica $cosx $ posso fare le medesime considerazioni, anch'essa e' pari, e
presenta una simmetria centrale in tutti i punti $pi/2+2kpi$, mi sbaglio?
presenta una simmetria centrale in tutti i punti $pi/2+2kpi$, mi sbaglio?
Yes. Anzi per la precisione in tutti i punti $pi/2+kpi$
Anche se la cosa utile sarebbe capire il "perché" il prof ha sottolineato questo fatto (almeno per me
).
Anche se la cosa utile sarebbe capire il "perché" il prof ha sottolineato questo fatto (almeno per me
).
Beh lui lo sottolinea perchè così possiamo limitare l'insieme su cui studiare la funzione, tanto il resto è simmetrico/antisimmetrico
Beh, sì, è giusto, però essendo simmetria centrale bisogna stare un po' più attenti e comunque essendo periodica la maggior restrizione ce l'hai per quello ...
È peraltro vero che più informazioni hai meglio è
È peraltro vero che più informazioni hai meglio è
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