Simmetria nelle soluzioni di un'equazione differenziale.

[Sk_Anonymous]

Sto studiando l'equazione differenziale $y'(t)=1/(t^2+y(t)^2)$. Osservo che $f:Omega->RR$, dove $Omega=RR^2-{0}$, con $f(t,y)=1/(t^2+y^2)$. Tra le altre cose, mi viene chiesto di dimostrare che se $\phi(t)$ è soluzione, allora $barphi(t)=-phi(-t)$ è soluzione. Abbiamo, per ipotesi, che $phi'(t)=1/(t^2+phi(t)^2)$. Ho ragionato così:

$barphi'(t)=1/(t^2+barphi(t)^2)<=>[-phi(-t)]'=1/(t^2+phi(-t)^2)<=>phi(-t)=1/(t^2+(phi(-t))^2)$

che chiaramente equivale all'ipotesi sopra menzionata.
E' corretto?

EDIT: sappiamo che $phi(t)$ è derivabile e che $(t,phi(t))\in\Omega$ per definizione di soluzione.