Simmetria hermitiana della serie di Fourier
Partiamo dalla formacomplessa della serie di Fourier
$x(t)=intx_Ke^(j2.pift)df$
da qui mi ricavo
$X_K=intx(t)e^(-j2.pift)dt$
consideriamo segnali reali
se vado a scrivere $X_K$ coniugato osservo che è proprio uguale a $X_(-K)$
essendo in generale gli $X_K$ quantità complesse questa uguaglianza deve essere verificata sia in modulo e fase sia in parte reale e parte immaginaria ovvero
$|X_K|=|X_(-K)|$ e $arg(X_K)=-arg(X_(-K))$ oppure equivalentemente $RE(X_K)=RE(X_(-K))$ e $Im(X_K)=-Im(X_(-K))$
e fin qui dovremmo essere tutti daccordo
consideriamo ora un segnale reale dispari
si dimostra che $X_K=-X_(-K)$ e ancora una volta questa è un'uguaglianza fra numeri in generale complessi che deve essere verificata sia in modulo e fase che parte reale e parte immaginaria.
Ragioniamo su parte reale e parte immaginaria: tenendo presente anche $X_K=X_(-K)$ concludiamo che la parte reale deve essere sia pari che dispari e l'unica funzione che riesco a pensare che sia assieme pari è dispari è la funzione nulla quindi i miei coefficienti devono essere dei numeri immaginari puri.
E questa è una cosa giusta.
Il problema è che se faccio lo stesso ragionamento in termini di modulo e fase ottengo che il modulo deve essere sia pari che dispari e quindi nullo e la cosa mi puzza un po'
Dove sbaglio?
Grazie per l'aiuto
$x(t)=intx_Ke^(j2.pift)df$
da qui mi ricavo
$X_K=intx(t)e^(-j2.pift)dt$
consideriamo segnali reali
se vado a scrivere $X_K$ coniugato osservo che è proprio uguale a $X_(-K)$
essendo in generale gli $X_K$ quantità complesse questa uguaglianza deve essere verificata sia in modulo e fase sia in parte reale e parte immaginaria ovvero
$|X_K|=|X_(-K)|$ e $arg(X_K)=-arg(X_(-K))$ oppure equivalentemente $RE(X_K)=RE(X_(-K))$ e $Im(X_K)=-Im(X_(-K))$
e fin qui dovremmo essere tutti daccordo
consideriamo ora un segnale reale dispari
si dimostra che $X_K=-X_(-K)$ e ancora una volta questa è un'uguaglianza fra numeri in generale complessi che deve essere verificata sia in modulo e fase che parte reale e parte immaginaria.
Ragioniamo su parte reale e parte immaginaria: tenendo presente anche $X_K=X_(-K)$ concludiamo che la parte reale deve essere sia pari che dispari e l'unica funzione che riesco a pensare che sia assieme pari è dispari è la funzione nulla quindi i miei coefficienti devono essere dei numeri immaginari puri.
E questa è una cosa giusta.
Il problema è che se faccio lo stesso ragionamento in termini di modulo e fase ottengo che il modulo deve essere sia pari che dispari e quindi nullo e la cosa mi puzza un po'
Dove sbaglio?
Grazie per l'aiuto
Risposte
Ma quando fai il modulo per caso conservi il segno - davanti alla funzione? Perché il modulo è positvo. 
ovvio che il modulo è positivo ma il mio dubbio era un altro
comunque mi sono riscritto tutto in maniera ordinata e ho chiarito comunque il mio dubbio.
Lo scrivo casomai servisse a qualcuno
$X_K=a+jb=ce^(jf)$
$X_(-K)=g+jh=de^(jl)$
adesso deve valere $X_K=-X_(-K)=X*_(-K)$ (X coniugato di -K)
ovvero $a+jb=-g-jh=g-jh$ da cui si ricava $b=-h,a=g=-g=0$ e questo è giusto
adesso io credevo che scrivendo la stessa cosa in termini di modulo e fase avrei ottenuto che il modulo fosse nullo e invece
$ce^(jf)=-de^(jf)=de^(jl)$ da cui NON posso concludere che $c=d=-d=0$
DUBBIO RISOLTO
comunque mi sono riscritto tutto in maniera ordinata e ho chiarito comunque il mio dubbio.
Lo scrivo casomai servisse a qualcuno
$X_K=a+jb=ce^(jf)$
$X_(-K)=g+jh=de^(jl)$
adesso deve valere $X_K=-X_(-K)=X*_(-K)$ (X coniugato di -K)
ovvero $a+jb=-g-jh=g-jh$ da cui si ricava $b=-h,a=g=-g=0$ e questo è giusto
adesso io credevo che scrivendo la stessa cosa in termini di modulo e fase avrei ottenuto che il modulo fosse nullo e invece
$ce^(jf)=-de^(jf)=de^(jl)$ da cui NON posso concludere che $c=d=-d=0$
DUBBIO RISOLTO
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