Simmetria fra rette!! Helpppp!!
Ciao ragazzi,
spero che qualcuno mi possa aiutare in qualche modo su un problema che purtroppo da giorni non riesco a risolvere.
In pratica l'esercizio chiede : Date due rette r: x+y+1=0 ed s: 2x+ y+2=0 determinare l'equazione della retta s' simmetrica di s rispetto a r.
Non saprei come procedere. Ho trovato l'intersezione fra le 2 rette, in questo modo ho trovato il punto P ( -1,0). Ma come continuare? In aula la prof aveva abbozzato una risoluzione trovando il punto P' simmetrico di P e appartenente ad s che veniva( 0, -2) . Solo che non riesco a capire come abbia fatto a ricavarlo... Attendo vostre risposte, grazie in anticipo!
spero che qualcuno mi possa aiutare in qualche modo su un problema che purtroppo da giorni non riesco a risolvere.
In pratica l'esercizio chiede : Date due rette r: x+y+1=0 ed s: 2x+ y+2=0 determinare l'equazione della retta s' simmetrica di s rispetto a r.
Non saprei come procedere. Ho trovato l'intersezione fra le 2 rette, in questo modo ho trovato il punto P ( -1,0). Ma come continuare? In aula la prof aveva abbozzato una risoluzione trovando il punto P' simmetrico di P e appartenente ad s che veniva( 0, -2) . Solo che non riesco a capire come abbia fatto a ricavarlo... Attendo vostre risposte, grazie in anticipo!
Risposte
Ci sono vari modi con cui procedere. Per prima cosa, osserva che geometricamente il concetto di simmetria di un punto
Risulta allora chiaro che il punto di intersezione tra le due rette è l'unico punto che rimane fisso, mentre tutti gli altri varieranno. Una osservazione del disegno delle due rette e la considerazione che il punto
Riesci a questo punto a risolvere il problema?
[math]A[/math]
rispetto ad una retta fissata [math]r[/math]
, implica trovare un secondo punto [math]A'[/math]
per cui valga la condizione [math]d(A,r)=d(A',r)[/math]
, essendo [math]d[/math]
la distanza punto retta.Risulta allora chiaro che il punto di intersezione tra le due rette è l'unico punto che rimane fisso, mentre tutti gli altri varieranno. Una osservazione del disegno delle due rette e la considerazione che il punto
[math]P[/math]
non si muove, ti fa capire che la retta [math]r[/math]
risulterà, allora, la bisettrice tra le rette [math]s[/math]
ed [math]s'[/math]
.Riesci a questo punto a risolvere il problema?
Uhmm allora innanzitutto grazie per aver risposto, non ci speravo più :D. Dunque si più o meno il tuo ragionamento mi è chiaro . Il mio problema però è proprio quello che non so come ricavarmi P'. C'è una formula generale o qualcosa che porti a quel risultato di P' (0,-2)?
Cioè a me quel risultato sembra sbucato dal nulla, non riesco a trovare un filo logico. Ho consultato alcuni libri e pare che per trovarsi il simmetrico di un punto bisogna applicare x'= 2x0- x y'= 2yo -y- In questo caso però mi manca X0 ,ho solo un punto in pratica,ovvero P, dato dall'intersezione fra le 2 rette, quindi questa formula non posso applicarla. Come fare quindi?
Cioè a me quel risultato sembra sbucato dal nulla, non riesco a trovare un filo logico. Ho consultato alcuni libri e pare che per trovarsi il simmetrico di un punto bisogna applicare x'= 2x0- x y'= 2yo -y- In questo caso però mi manca X0 ,ho solo un punto in pratica,ovvero P, dato dall'intersezione fra le 2 rette, quindi questa formula non posso applicarla. Come fare quindi?
Per prima cosa, c'è qualcosa che concettualmente non torna. Se
Vediamo di scrivere,in generale, una relazione per la simmetria di un punto rispetto ad una retta e, da questa, cerchiamo di capire come applicarla a tutti i punti di un certo luogo geometrico.
Prendiamola retta
Cerchiamo il punto di intersezione
da cui
D'altra parte, possiamo anche scrivere
da cui,dopo qualche calcolo, si ricava
Inoltre dalle due relazioni precedenti possiamo determinare le equazioni che forniscono le coordinate di
Queste sono le generiche trasformazioni per determinare un punto simmetrico ad una retta data. Se ora consideriamo una intera retta
e quindi dopo qualche calcolo e sostituendo
che è l'equazione della retta simmetrica.
Se segui il ragionamento che ho fatto con le due rette date (lascia perdere il loro punto di intersezione) troverai agevolmente l'equazione della retta.
[math]P[/math]
è il punto di intersezione tra le due rette, il suo simmetrico coincide con esso, in quanto esso rimanesulla retta di simmetria (pensa alla simettria rispetto ad un asse: tutti i punti dell'asse si conservano).Vediamo di scrivere,in generale, una relazione per la simmetria di un punto rispetto ad una retta e, da questa, cerchiamo di capire come applicarla a tutti i punti di un certo luogo geometrico.
Prendiamola retta
[math]r:\ ax+by+c=0[/math]
e il punto generico [math]P(x_0,y_0)[/math]
che non appartiene alla retta e determiniamone il simmetrico [math]P'(x_0',y_0')[/math]
rispetto alla retta. Il punto simmetrico deve trovarsi sulla retta passante per [math]P[/math]
e perpendicolare alla retta di simmetria: essendo il coefficiente angolare della retta di simmetria pai a [math]m=-a/b[/math]
e quindi quello della perpendicolare pari a [math]m_1=b/a[/math]
, l'equazione della retta perpendicolare passante per [math]P[/math]
risulta[math]s:\ y-y_0=\frac{b}{a}(x-x_0)\ \Rightarrow\ bx-ay+ay_0-bx_0=0[/math]
Cerchiamo il punto di intersezione
[math]M[/math]
tra le due rette: esso risulterà punto medio del segmento [math]PP'[/math]
in quanto, come dicevo nel post precedente, la distanza di [math]P[/math]
da [math]r[/math]
deve essere uguale a quella di [math]P'[/math]
da [math]r[/math]
. Abbiamo allora[math]M:\left\{\begin{array}{l}
ax+by+c=0\\ bx-ay+ay_0-bx_0=0
\end{array}\right.[/math]
ax+by+c=0\\ bx-ay+ay_0-bx_0=0
\end{array}\right.[/math]
da cui
[math]M=(x_M,y_M)=\left(-\frac{ac+aby_0-b^2x_0}{a^2+b^2},-\frac{cb-a^2y_0+abx_0}{a^2+b^2}\right)[/math]
D'altra parte, possiamo anche scrivere
[math]x_M=\frac{x_0+x_0'}{2},\quad y_M=\frac{y_0+y_0'}{2}\ \Rightarrow\ x_0'=2x_M-x_0,\ y_0'=2y_M-y_0[/math]
da cui,dopo qualche calcolo, si ricava
[math]x_0'=\frac{(b^2-a^2)x_0-2aby_0-2ac}{a^2+b^2}\\ y_0'=\frac{(a^2-b^2)y_0-2abx_0-2bc}{a^2+b^2}[/math]
Inoltre dalle due relazioni precedenti possiamo determinare le equazioni che forniscono le coordinate di
[math]P[/math]
in funzione di quelle di [math]P'[/math]
[math]x_0=\frac{(b^2-a^2)x_0'-2aby_0'-2ac}{a^2+b^2}\\ y_0=\frac{(a^2-b^2)y_0'-2abx_0'-2bc}{a^2+b^2}[/math]
Queste sono le generiche trasformazioni per determinare un punto simmetrico ad una retta data. Se ora consideriamo una intera retta
[math]Ax+By+C=0[/math]
da simmetrizzare, se [math]P(x_0,y_0)[/math]
è un suo generico punto, usando le precedenti equazioni si ricava[math]A\frac{(b^2-a^2)x_0'-2aby_0'-2ac}{a^2+b^2}+B\frac{(a^2-b^2)y_0'-2abx_0'-2bc}{a^2+b^2}+C=0[/math]
e quindi dopo qualche calcolo e sostituendo
[math]x_0'\to X,\ y_0'\to Y[/math]
come coordinate[math][A(b^2-a^2)-2abB]X+[B(a^2-b^2)-2abA]Y+C(a^2+b^2)-2acA-2bcB=0[/math]
che è l'equazione della retta simmetrica.
Se segui il ragionamento che ho fatto con le due rette date (lascia perdere il loro punto di intersezione) troverai agevolmente l'equazione della retta.
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