Simmetria cilindrica
devo determinare il baricentro di $ C={(x,y,z)∈RR^3: x^(2)+y^(2)+z^(2)≤sqrt(x^(2)+y^(2)+z^(2))-z} $ . in coordinate sferiche diventa $ 0<=rho<=1-cosphi $ , $ theta∈[0,2pi] $ , $ phi∈[0,pi] $ .
non mi è chiaro però come si possa notare subito che c'è una certa simmetria che mi porti a dire che le coordinate x ed y del baricentro sono nulle, e che ci sia da calcolare solamente la coordinata z del baricentro. aiuto?
non mi è chiaro però come si possa notare subito che c'è una certa simmetria che mi porti a dire che le coordinate x ed y del baricentro sono nulle, e che ci sia da calcolare solamente la coordinata z del baricentro. aiuto?
Risposte
Assumo che tu sia nel caso di densità costante, altrimenti ciò non è sempre vero e dipende anche dalla funzione $\rho(x,y,z)$.
Se una funzione è dispari e il suo insieme di integrazione è pari, allora l'integrale di tale funzione in quell'insieme di integrazione è nullo (puoi provare a dimostrarlo in una variabile e tale proprietà continua a valere anche in più variabili, altrimenti un disegno convince molto); dato che gli integrali che definiscono le coordinate $x_G$ e $y_G$ del baricentro hanno come funzioni integrande rispettivamente $x$ e $y$ (mi riferisco agli integrali a numeratore nella definizione delle coordinate del baricentro), se l'insieme di integrazione è pari rispetto a $x$ e $y$ essi sono nulli.
Il tuo insieme com'è rispetto alle variabili $x$ e $y$?
Se una funzione è dispari e il suo insieme di integrazione è pari, allora l'integrale di tale funzione in quell'insieme di integrazione è nullo (puoi provare a dimostrarlo in una variabile e tale proprietà continua a valere anche in più variabili, altrimenti un disegno convince molto); dato che gli integrali che definiscono le coordinate $x_G$ e $y_G$ del baricentro hanno come funzioni integrande rispettivamente $x$ e $y$ (mi riferisco agli integrali a numeratore nella definizione delle coordinate del baricentro), se l'insieme di integrazione è pari rispetto a $x$ e $y$ essi sono nulli.
Il tuo insieme com'è rispetto alle variabili $x$ e $y$?
Ciao itisscience,
A parte che come ti ha già fatto notare Mephlip mancano delle informazioni (cioè se il solido è omogeneo e quindi possiamo supporre la densità pari a $1$ oppure no),
Stai usando le coordinate cilindriche o le coordinate sferiche? Perché nelle cilindriche c'è un angolo solo, mentre qui ne vedo scritti due...
A parte che come ti ha già fatto notare Mephlip mancano delle informazioni (cioè se il solido è omogeneo e quindi possiamo supporre la densità pari a $1$ oppure no),
"itisscience":
[...] in coordinate cilindriche diventa $0 <= \rho <= 1−cos\phi $, $\theta \in [0,2\pi] $, $\phi \in [0,\pi] $.
Stai usando le coordinate cilindriche o le coordinate sferiche? Perché nelle cilindriche c'è un angolo solo, mentre qui ne vedo scritti due...
intendevo coordinate cilindriche! inoltre sono nel caso di densità costante.
però mi sembra di capire che $ x $ ed $ y $ sono da considerare come funzioni dispari? su un insieme di integrazione pari che sarebbe $ 1-cos(x) $ ? e come mai questo non vale anche per la z?
però mi sembra di capire che $ x $ ed $ y $ sono da considerare come funzioni dispari? su un insieme di integrazione pari che sarebbe $ 1-cos(x) $ ? e come mai questo non vale anche per la z?
Sono sbagliate allora, perché le coordinate cilindriche (con polo nell'origine e asse polare coincidente col semiasse positivo delle $x$) sono $x= \rho \cos \theta$, $y= \rho \sin \theta$ e $z=z$, con $\rho \geq 0$ e $0 \leq \theta < 2\pi$.
Occhio che la parità, se vuoi verificarla in coordinate cartesiane, devi verificarla nell'insieme in coordinate cartesiane e non in quello in cilindriche; quindi devi verificare che $f_1(x,y,z)=x$ ed $f_2(x,y,z)=y$ sono funzioni dispari la prima rispetto a $x$ e la seconda rispetto a $y$, e devi verificare che l'insieme $C$ sia pari in quelle variabili, non il suo trasformato $C'$ che si ottiene da $C$ con il passaggio in coordinate cilindriche.
Per vedere come mai non vale per la $z$ devi fare esplicitamente il conto, come devi farlo per vedere che ciò vale per la $x$ e per la $y$; sai come si verificano le simmetrie per funzioni e per insiemi?
Occhio che la parità, se vuoi verificarla in coordinate cartesiane, devi verificarla nell'insieme in coordinate cartesiane e non in quello in cilindriche; quindi devi verificare che $f_1(x,y,z)=x$ ed $f_2(x,y,z)=y$ sono funzioni dispari la prima rispetto a $x$ e la seconda rispetto a $y$, e devi verificare che l'insieme $C$ sia pari in quelle variabili, non il suo trasformato $C'$ che si ottiene da $C$ con il passaggio in coordinate cilindriche.
Per vedere come mai non vale per la $z$ devi fare esplicitamente il conto, come devi farlo per vedere che ciò vale per la $x$ e per la $y$; sai come si verificano le simmetrie per funzioni e per insiemi?
scusate per la confusione, cerco di fare chiarezza: la traccia dell'esercizio è proprio quella che ho scritto io, con l'aggiunta dell'informazione che la densità è costante. non c'è una funzione, devo calcolare il baricentro del corpo che occupa lo spazio C.
le coordinate in cui ho scritto l'insieme C sono quelle sferiche (quindi dovrebbero essere giuste). ho inoltre svolto i calcoli per trovare la coordinata z del baricentro ed è diversa da zero effettivamente.
quindi il dubbio è come accorgermi del fatto che le coordinate x ed y del baricentro siano nulle per una simmetria del sistema. mi avete detto che la funzione deve essere dispari su insieme di integrazione pari. non mi è chiaro quale sia la funzione e quale sia l'insieme di integrazione. scusate.
le coordinate in cui ho scritto l'insieme C sono quelle sferiche (quindi dovrebbero essere giuste). ho inoltre svolto i calcoli per trovare la coordinata z del baricentro ed è diversa da zero effettivamente.
quindi il dubbio è come accorgermi del fatto che le coordinate x ed y del baricentro siano nulle per una simmetria del sistema. mi avete detto che la funzione deve essere dispari su insieme di integrazione pari. non mi è chiaro quale sia la funzione e quale sia l'insieme di integrazione. scusate.
Beh, mi pare piuttosto evidente che se nell'insieme $ C={(x,y,z)\in RR^3: x^2+y^2+z^2 <= sqrt(x^2+y^2+z^2)-z} $ scrivi $- x $ al posto di $x$ e $- y $ al posto di $y$ l'insieme non cambia molto...
La stessa cosa non può dirsi se scrivi $- z$ al posto di $z$
Le formule per calcolare il baricentro sono le seguenti:
$x_G = \frac{\int\int\int_C \delta x \text{d}x \text{d}y \text{d}z}{\int\int\int_C \text{d}x \text{d}y \text{d}z} $
$y_G = \frac{\int\int\int_C \delta y \text{d}x \text{d}y \text{d}z}{\int\int\int_C \text{d}x \text{d}y \text{d}z} $
$z_G = \frac{\int\int\int_C \delta z \text{d}x \text{d}y \text{d}z}{\int\int\int_C \text{d}x \text{d}y \text{d}z} $
Se il solido è omogeneo e quindi $\delta = 1 $ le formule scritte poc'anzi diventano le seguenti:
$x_G = \frac{\int\int\int_C x \text{d}x \text{d}y \text{d}z}{\int\int\int_C \text{d}x \text{d}y \text{d}z} $
$y_G = \frac{\int\int\int_C y \text{d}x \text{d}y \text{d}z}{\int\int\int_C \text{d}x \text{d}y \text{d}z} $
$z_G = \frac{\int\int\int_C z \text{d}x \text{d}y \text{d}z}{\int\int\int_C \text{d}x \text{d}y \text{d}z} $
Da quanto scritto sopra si vede subito che $x_G = y_G = 0 $ (ma se non ci credi puoi sempre verificarlo calcolandole dopo essere passato in coordinate sferiche... Ricordati che in coordinate sferiche lo jacobiano della trasformazione è $|J| = \rho^2 sin\phi $)
Pertanto ti resta da calcolare $z_G$ e quindi i due integrali che compaiono a numeratore e a denominatore della relativa formula.
La stessa cosa non può dirsi se scrivi $- z$ al posto di $z$
Le formule per calcolare il baricentro sono le seguenti:
$x_G = \frac{\int\int\int_C \delta x \text{d}x \text{d}y \text{d}z}{\int\int\int_C \text{d}x \text{d}y \text{d}z} $
$y_G = \frac{\int\int\int_C \delta y \text{d}x \text{d}y \text{d}z}{\int\int\int_C \text{d}x \text{d}y \text{d}z} $
$z_G = \frac{\int\int\int_C \delta z \text{d}x \text{d}y \text{d}z}{\int\int\int_C \text{d}x \text{d}y \text{d}z} $
Se il solido è omogeneo e quindi $\delta = 1 $ le formule scritte poc'anzi diventano le seguenti:
$x_G = \frac{\int\int\int_C x \text{d}x \text{d}y \text{d}z}{\int\int\int_C \text{d}x \text{d}y \text{d}z} $
$y_G = \frac{\int\int\int_C y \text{d}x \text{d}y \text{d}z}{\int\int\int_C \text{d}x \text{d}y \text{d}z} $
$z_G = \frac{\int\int\int_C z \text{d}x \text{d}y \text{d}z}{\int\int\int_C \text{d}x \text{d}y \text{d}z} $
Da quanto scritto sopra si vede subito che $x_G = y_G = 0 $ (ma se non ci credi puoi sempre verificarlo calcolandole dopo essere passato in coordinate sferiche... Ricordati che in coordinate sferiche lo jacobiano della trasformazione è $|J| = \rho^2 sin\phi $)
Pertanto ti resta da calcolare $z_G$ e quindi i due integrali che compaiono a numeratore e a denominatore della relativa formula.
mi è tutto chiaro ora, vi ringrazio davvero!
@itisscience: Ma tranquillo/a, non devi scusarti.
Il testo è chiaro, abbiamo chiarito l'unica parte non detta (ossia quella sulla densità); la cosa da fissare è la seguente.
Quando calcoli le coordinate del baricentro in $\mathbb{R}^3$, integri tre funzioni (uso la notazione di pilloeffe, per non confondere $\rho$ della densità con eventuali raggi): $f_1(x,y,z)=\delta(x,y,z)x$, $f_2(x,y,z)=\delta(x,y,z)y$ ed $f_3(x,y,z)=\delta(x,y,z)z$.
Quando ho parlato di funzioni mi riferivo alle funzioni integrande, ossia a queste tre funzioni $f_1,f_2$ ed $f_3$ da integrare nell'insieme $C$ (in questo caso).
Per ipotesi $\delta(x,y,z)=1$, perciò le funzioni si riducono a $f_1(x,y,z)=x$, $f_2(x,y,z)=y$ ed $f_3(x,y,z)=z$; sono queste le funzioni di cui devi verificare la disparità.
Pilloeffe ti ha fatto vedere come l'insieme sia pari solo in $x$ e in $y$, visto che scambiando $z$ con $-z$ ottieni un insieme diverso da $C$; quindi, visto che $f_1$ ed $f_2$ sono dispari (rispettivamente) in $x$ ed $y$ e visto che l'insieme è pari sia in $x$ che in $y$, gli integrali di $f_1$ ed $f_2$ in $C$ sono nulli.
Ma questi integrali sono i numeratori delle coordinate $x_G$ ed $y_G$ del baricentro, perciò il baricentro ha tali coordinate nulle. Spero sia più chiaro ora.
Il testo è chiaro, abbiamo chiarito l'unica parte non detta (ossia quella sulla densità); la cosa da fissare è la seguente.
Quando calcoli le coordinate del baricentro in $\mathbb{R}^3$, integri tre funzioni (uso la notazione di pilloeffe, per non confondere $\rho$ della densità con eventuali raggi): $f_1(x,y,z)=\delta(x,y,z)x$, $f_2(x,y,z)=\delta(x,y,z)y$ ed $f_3(x,y,z)=\delta(x,y,z)z$.
Quando ho parlato di funzioni mi riferivo alle funzioni integrande, ossia a queste tre funzioni $f_1,f_2$ ed $f_3$ da integrare nell'insieme $C$ (in questo caso).
Per ipotesi $\delta(x,y,z)=1$, perciò le funzioni si riducono a $f_1(x,y,z)=x$, $f_2(x,y,z)=y$ ed $f_3(x,y,z)=z$; sono queste le funzioni di cui devi verificare la disparità.
Pilloeffe ti ha fatto vedere come l'insieme sia pari solo in $x$ e in $y$, visto che scambiando $z$ con $-z$ ottieni un insieme diverso da $C$; quindi, visto che $f_1$ ed $f_2$ sono dispari (rispettivamente) in $x$ ed $y$ e visto che l'insieme è pari sia in $x$ che in $y$, gli integrali di $f_1$ ed $f_2$ in $C$ sono nulli.
Ma questi integrali sono i numeratori delle coordinate $x_G$ ed $y_G$ del baricentro, perciò il baricentro ha tali coordinate nulle. Spero sia più chiaro ora.
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