Simbolo di Landau $\mathcal{o}$ in $\mathbb{R}^m$
Nel libro Mathematical Analysis I, edizione 1, sec. 8.1, pag. 432, l'autore Zorich introduce il simbolo di Landau \(\displaystyle \mathcal{o} \) anche per funzioni \(\displaystyle f:X\to \mathbb{R}^m \) e \(\displaystyle g:X\to\mathbb{R}^n \).
In particolare scrive che con la scrittura \(\displaystyle f\underbrace{=}_{\mathcal{B}}\mathcal{o}(g) \), dove \(\displaystyle \mathcal{B} \) è una base (https://en.wikipedia.org/wiki/Base_(topology)) su $X$, dice che bisogna intedere:
$$\left \| f(x) \right \|_{\mathbb{R}^m}\underbrace{=}_\mathcal{B}\mathcal{o} \left \| f(x) \right \|_{\mathbb{R}^n}$$
facendo riferimento alla nota definizione per funzioni in \(\displaystyle \mathbb{R} \), cosa che non riesco comunque bene a capire cosa voglia dire.
Io ho sempre scritto \(\displaystyle h\underbrace{=}_{\mathcal{B}}\mathcal{o}(u) \) (h e u funzioni in \(\displaystyle \mathbb{R} \) e di variabile reale) intendendo che in un qualche insieme di \(\displaystyle \mathcal{B} \) vale che \(\displaystyle h(x)=\alpha(x)u(x) \) con \(\displaystyle \lim_{\mathcal{B}}\alpha(x)=0 \).
Nel caso generalizzato che propone Zorich, dovrei intendere che esiste una funzione \(\displaystyle \alpha:X\to\mathbb{R} \) tale che: \(\displaystyle \left \| f(x) \right \|_{\mathbb{R}^m}=\alpha(\mathbf{x})\left \| f(x) \right \|_{\mathbb{R}^n} \) e \(\displaystyle \lim_{\mathcal{B}}\alpha(\mathbf{x})=0 \)?
In sostanza generalizzerei il dominio di \(\displaystyle \alpha \).
Mi verrebbe da dire che l'importante è che $X$ abbia una metrica, giusto?
In particolare scrive che con la scrittura \(\displaystyle f\underbrace{=}_{\mathcal{B}}\mathcal{o}(g) \), dove \(\displaystyle \mathcal{B} \) è una base (https://en.wikipedia.org/wiki/Base_(topology)) su $X$, dice che bisogna intedere:
$$\left \| f(x) \right \|_{\mathbb{R}^m}\underbrace{=}_\mathcal{B}\mathcal{o} \left \| f(x) \right \|_{\mathbb{R}^n}$$
facendo riferimento alla nota definizione per funzioni in \(\displaystyle \mathbb{R} \), cosa che non riesco comunque bene a capire cosa voglia dire.
Io ho sempre scritto \(\displaystyle h\underbrace{=}_{\mathcal{B}}\mathcal{o}(u) \) (h e u funzioni in \(\displaystyle \mathbb{R} \) e di variabile reale) intendendo che in un qualche insieme di \(\displaystyle \mathcal{B} \) vale che \(\displaystyle h(x)=\alpha(x)u(x) \) con \(\displaystyle \lim_{\mathcal{B}}\alpha(x)=0 \).
Nel caso generalizzato che propone Zorich, dovrei intendere che esiste una funzione \(\displaystyle \alpha:X\to\mathbb{R} \) tale che: \(\displaystyle \left \| f(x) \right \|_{\mathbb{R}^m}=\alpha(\mathbf{x})\left \| f(x) \right \|_{\mathbb{R}^n} \) e \(\displaystyle \lim_{\mathcal{B}}\alpha(\mathbf{x})=0 \)?
In sostanza generalizzerei il dominio di \(\displaystyle \alpha \).
Mi verrebbe da dire che l'importante è che $X$ abbia una metrica, giusto?
Risposte
Perché gli serve dare la definizione restringendosi a una base?
Come la daresti tu?
Non ho capito cosa mi vuoi dire per questo chiedo maggiori dettagli.
Non ho capito cosa mi vuoi dire per questo chiedo maggiori dettagli.
Beh, nello stesso modo, ma senza restringersi a una base: due funzioni vettoriali come nelle sue notazioni sono nella relazione \(f \in og\) se le funzioni scalari \(|f|,|g|\) sono tali che \(|f|\in o|g|\).
La definizione di $o$ non fa uso di una base, fa semplicemente uso della nozione di limite. Poi, certo, se quella condizione è vera su una base è vera sulla topologia generata da quella base, ma...
La definizione di $o$ non fa uso di una base, fa semplicemente uso della nozione di limite. Poi, certo, se quella condizione è vera su una base è vera sulla topologia generata da quella base, ma...
Ok, ti ringrazio.
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