Simbolo di integrale indefinito

[Pierlu11]

Da un po' rifletto su una questione alla quale non riesco a dare una motivazione sensata e soprattutto FORMALE:
se $ intf(x) dx $ è solo un SIMBOLO che indica l'insieme delle primitive di $ f(x) $ , come mai per calcolarlo lavoriamo su $ dx $ come se fosse un differenziale? Non mi sembra molto sensato lavorare su qualcosa che è usato come simbolo?

La cosa è sensata quando sto calcolando un integrale definito e $ dx $ è l'incremento infinitesimo ma per quello indefinito non vedo motivazione formale!

[vict85]

È una questione storica. Tieni conto che il simbolo \(\int\) deriva dalla \(s\) lunga (ſ) che anche se noi non la usiamo più è stata la forma di s più comune fino al '700 e si trova ancora in tedesco nella doppia s ß. Quindi in sostanza inizialmente voleva proprio significare la somma di porzioni infinitesime.

Immagino che nel momento in cui l'analisi si è formalizzata per bene queste notazioni erano ormai fin troppo comuni da essere abbandonate.

[Epimenide93]

"Pierlu11":Da un po' rifletto su una questione alla quale non riesco a dare una motivazione sensata e soprattutto FORMALE:
se $ intf(x) dx $ è solo un SIMBOLO che indica l'insieme delle primitive di $ f(x) $ , come mai per calcolarlo lavoriamo su $ dx $ come se fosse un differenziale?

Non lo facciamo.

"Pierlu11":
La cosa è sensata quando sto calcolando un integrale definito e $ dx $ è l'incremento infinitesimo

No, non lo è. Sebbene lo sia per un altro motivo.

"Pierlu11":
ma per quello indefinito non vedo motivazione formale!

Quello dell'integrazione per sostituzione è un teorema la cui dimostrazione sta su ogni libro di Analisi, anche sui più scarsi, basta studiarla e tutti i patemi d'animo fanno la fine delle funzioni costanti quando vengono derivate.

[Pierlu11]

Mi sembra che nella risoluzione per sostituzione il fatto di sostituire $ dx $ con $ g'(t)dt $ se $ x=g(t) $ è proprio conseguenza del fatto che $ dx $ è il differenziale della funzione $ g(t) $ ... inoltre non ho capito cosa intendi quando dici che non è sensato "sebbene lo sia per un altro motivo"...

Conosco la dimostrazione dell'integrazione per sostituzione ma non mi risolve il problema, è un motivo per cui tali dubbi mi sono venuti visto che fa proprio la cosa che mi appare "illogica": usare un simbolo come un elemento ben definito...

[Epimenide93]

"Pierlu11":Mi sembra che nella risoluzione per sostituzione il fatto di sostituire $ dx $ con $ g'(t)dt $ se $ x=g(t) $ è proprio conseguenza del fatto che $ dx $ è il differenziale della funzione $ g(t) $ ...

Ok, ma ti sbagli, non lo è affatto, è conseguenza di un teorema nella cui dimostrazione non si fa alcun ricorso al differenziale.

"Pierlu11": inoltre non ho capito cosa intendi quando dici che non è sensato "sebbene lo sia per un altro motivo"...

Ti sei accorto che ci sono tre link nel mio messaggio, vero? Dico che non è sensato parlare di incrementi infinitesimi (il motivo sta nel link), quindi non è per quello che la formula di integrazione per sostituzione vale nel caso di un "integrale definito"; tuttavia la formula vale, ed anche in questo caso vale in virtù di un teorema (la cui dimostrazione sta nel link).

"Pierlu11":
Conosco la dimostrazione dell'integrazione per sostituzione ma non mi risolve il problema, è un motivo per cui tali dubbi mi sono venuti visto che fa proprio la cosa che mi appare "illogica": usare un simbolo come un elemento ben definito...

È più che evidente da quel che dici che la dimostrazione non la conosci. Conosci la formuletta per integrare per sostituzione.[nota]È la stessa differenza che passa tra saper espandere il binomio di Newton e saper dimostrare che l'espansione è proprio quella.[/nota] La dimostrazione funziona benissimo anche se fai sparire il simbolo \( {\rm d}x \) da tutte le parti in cui compare[nota]Di più, continua a funzionare anche se indichi l'integrale con una notazione funzionale/prefissa/postfissa/con apici/con pedici.[/nota]. Nei link presenti nel mio precedente messaggio ce n'è una (e non è l'unica), prova a studiarla.

[Pierlu11]

Ecco, più o meno, quello che mi è sempre stato detto sull'integrazione per sostituzione... http://it.wikipedia.org/wiki/Integrazio ... stituzione ... come vedi non sono solo delle mie convinzioni.

[Epimenide93]

"Pierlu11":Ecco, più o meno, quello che mi è sempre stato detto sull'integrazione per sostituzione... http://it.wikipedia.org/wiki/Integrazio ... stituzione ... come vedi non sono solo delle mie convinzioni.

Ma sì, ma infatti si parla di metodo, non di dimostrazione, e la pagina stessa riporta:

Questa formula si ricorda meglio usando il formalismo di Leibniz

evidenziando che si tratta di un vantaggio mnemonico; ciò non toglie che non abbia alcun significato particolare.

Nella pagina in inglese, oltre alla regoletta c'è anche la dimostrazione, e guarda caso anche lì nell'enunciare la regoletta si parla di come la notazione di Leibniz sia utile (e lo è, e molto), mentre nella dimostrazione non si accenna minimamente a differenziali o quant'altro. Di nuovo, un conto è sapere l'enunciato del Teorema di Pitagora, un conto è saperlo dimostrare. Se studi la dimostrazione del teorema di integrazione per sostituzione capisci da dove salta fuori quella formula e capisci che i differenziali non entrano nei meriti del discorso. Se te la vuoi ricordare pensa al differenziale, ché è il modo più rapido.