Simboli di landau ed utilizzi
Non mi è assolutamente chiaro l'utilizzo del simbolo di landau! Conosco la definizione ma non riesco a capire perchè l'o piccolo venga utilizzato nelle operazioni razionali di somma . In particolare c'è questo tratto delle mie dispense che non capisco : http://i59.tinypic.com/5ot7xl.png
Per definizione sono d'accordo che $f(x+h)-f(x)-f'(x)*h=o(h)$ però, per me ,questa scritta significa solamente che il rapporto tra $f(x+h)-f(x)-f'(x)*h$ e h è infinitesimo per h->0 ossia che $f(x+h)-f(x)-f'(x)*h$ ha un'ordine di grandezza inferiore ad h per h->0 . Lo vedo come un nome e nulla più . Essendo un nome non mi viene naturale applicare come se nulla fosse passaggi da destra a sinistra dell'uguale utilizzando o(h) come se fosse un addendo. Non so se mi sono spiegato .
Perchè o(h) è un resto che ha un ordine di grandezza inferiore ad h per h->0?
Non riesco davvero a capire!
Per definizione sono d'accordo che $f(x+h)-f(x)-f'(x)*h=o(h)$ però, per me ,questa scritta significa solamente che il rapporto tra $f(x+h)-f(x)-f'(x)*h$ e h è infinitesimo per h->0 ossia che $f(x+h)-f(x)-f'(x)*h$ ha un'ordine di grandezza inferiore ad h per h->0 . Lo vedo come un nome e nulla più . Essendo un nome non mi viene naturale applicare come se nulla fosse passaggi da destra a sinistra dell'uguale utilizzando o(h) come se fosse un addendo. Non so se mi sono spiegato .
Perchè o(h) è un resto che ha un ordine di grandezza inferiore ad h per h->0?
Non riesco davvero a capire!
Risposte
"Umbreon93":
Non mi è assolutamente chiaro l'utilizzo del simbolo di landau! Conosco la definizione [...]
Per definizione sono d'accordo che $f(x+h)-f(x)-f'(x)*h=o(h)$ però, per me ,questa scritta significa solamente che il rapporto tra $f(x+h)-f(x)-f'(x)*h$ e h è infinitesimo per h->0 ossia che $f(x+h)-f(x)-f'(x)*h$ ha un'ordine di grandezza inferiore ad h per h->0.
Beh, meglio che vai a rivederti la definizione.
Quella datata dalle mie dispense è questa : http://i60.tinypic.com/2hrzxq0.png
Mi ha definitivamente impallato ..non riesco più ad andare avanti con i vari de l'hopital etc.. etc..
Mi ha definitivamente impallato ..non riesco più ad andare avanti con i vari de l'hopital etc.. etc..
L'o-piccolo puoi immaginarlo come un "resto infinitesimo".
Prendiamo l'esempio da te citato:
\[f(x+h) - f(x) = f'(x)h + o(h) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (h \to 0)\]
E', per definizione di o-piccolo, equivalente a:
\[\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x) - f'(x)h}{h} = 0\]
Ovvero:
\[\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} = f'(x)\]
Cos'è che non ti è chiaro?
Hai parlato impropriamente di "ordine di grandezza" laddove si parla di "ordine di infinitesimo". Occhio!
Da un occhio al tutorial scritto da buon vecchio gugo82: viewtopic.php?f=36&t=66257#p467380
Prendiamo l'esempio da te citato:
\[f(x+h) - f(x) = f'(x)h + o(h) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (h \to 0)\]
E', per definizione di o-piccolo, equivalente a:
\[\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x) - f'(x)h}{h} = 0\]
Ovvero:
\[\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} = f'(x)\]
Cos'è che non ti è chiaro?
Hai parlato impropriamente di "ordine di grandezza" laddove si parla di "ordine di infinitesimo". Occhio!
Da un occhio al tutorial scritto da buon vecchio gugo82: viewtopic.php?f=36&t=66257#p467380
In realtà avrei dovuto dire che $f(x+h)-f(x)-f'(x)*h$ è un infinitesimo di ordine superiore rispetto ad h?
Con ordine di grandezza ci si riferisce agli infiniti / infinitesimi campioni ?
Dei passaggi riportati da te non capisco il primo .o piccolo lo penso solo come un nome che do a f(x) quando f(x)/g(x)->0 per x->x_0 .Per questo il mio cervello rifiuta di fare semplici passaggi algebrici prima di capire perchè o piccolo è un resto!!
Prendiamo la definizione : http://oi60.tinypic.com/2hrzxq0.jpg
Quando si verificano certe condizioni uso la notazione f=o(g) . Io la recepisco come nome non come un'uguaglianza! In sostanza perchè f=o(g) ??? Per x che si avvicina tantissimo (scusate i termini) al punto in cui ho calcolato il limite del rapporto nella definizione,mi sembra di capire che a f succeda qualcosa tale che valga f=o(g) .Penso di aver capito solo che f in questa situazione è infinitesima più di g ma per il resto non capisco perchè f dovrebbe essere o(g) che vedo chiamare resto ...ma tra chi?? tra f e g ? Allora non sarebbe f ma bensì il resto stesso. Non capisco !!!!
Con ordine di grandezza ci si riferisce agli infiniti / infinitesimi campioni ?
Dei passaggi riportati da te non capisco il primo .o piccolo lo penso solo come un nome che do a f(x) quando f(x)/g(x)->0 per x->x_0 .Per questo il mio cervello rifiuta di fare semplici passaggi algebrici prima di capire perchè o piccolo è un resto!!
Prendiamo la definizione : http://oi60.tinypic.com/2hrzxq0.jpg
Quando si verificano certe condizioni uso la notazione f=o(g) . Io la recepisco come nome non come un'uguaglianza! In sostanza perchè f=o(g) ??? Per x che si avvicina tantissimo (scusate i termini) al punto in cui ho calcolato il limite del rapporto nella definizione,mi sembra di capire che a f succeda qualcosa tale che valga f=o(g) .Penso di aver capito solo che f in questa situazione è infinitesima più di g ma per il resto non capisco perchè f dovrebbe essere o(g) che vedo chiamare resto ...ma tra chi?? tra f e g ? Allora non sarebbe f ma bensì il resto stesso. Non capisco !!!!
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