Simboli di landau
Ciao,
Sono alle prese con questo esercizio:
Nell'ambito delle successioni stabilire se $a_n -> 0$ implica $O((a_n)^2)= o (a_n)$
Io ho risolto cosi: $Lim_(x->0) (O(a_n)^2)/a_n = 0$
È corretto? O no?
Grazie
Sono alle prese con questo esercizio:
Nell'ambito delle successioni stabilire se $a_n -> 0$ implica $O((a_n)^2)= o (a_n)$
Io ho risolto cosi: $Lim_(x->0) (O(a_n)^2)/a_n = 0$
È corretto? O no?
Grazie
Risposte
Per essere corretto, il risultato è corretto, ma devi giustificarlo un po'. Non si capisce da dove lo tiri fuori.
Ecco infatti, lo devo giustificare in quanto potrebbe essere una domanda da orale 
Io ho applicato solamente la definizione di o-piccolo.
Dato $a_n = o(b_n)$ --> $ Lim _(n->?) a_n/b_n$
da li poi tramite le proprietà degli o-piccoli / o-grandi ho ricavato il risultato. Il che non penso sia errata come spiegazione i problema é che per farlo venire, io ho posto il limite con $x -> 0$ e l'ho fatto a "intuito" considerando $a_n -> 0$. È corretta una cosa del genere? O il motivo di tale implementazione potrebbe essere un altro?
Grazie per la possibile risposta
Io ho applicato solamente la definizione di o-piccolo.
Dato $a_n = o(b_n)$ --> $ Lim _(n->?) a_n/b_n$
da li poi tramite le proprietà degli o-piccoli / o-grandi ho ricavato il risultato. Il che non penso sia errata come spiegazione
i problema é che per farlo venire, io ho posto il limite con $x -> 0$ e l'ho fatto a "intuito" considerando $a_n -> 0$. È corretta una cosa del genere? O il motivo di tale implementazione potrebbe essere un altro? Grazie per la possibile risposta
No aspetta, non mi convince. Nella domanda ci sono un o piccolo e un O grande. Tu dove hai usato l'O grande? Io direi di fare le cose per bene e iniziare a snocciolare un po' la formula. Abbiamo una successione $x_n$ e sappiamo che $x_n=O(a^2_n)$, cioé
\[
\lvert x_n\rvert\le C a_n^2, \]
dove $C>0$ è una costante che non dipende da $n$. Dobbiamo dimostrare che $x_n=o(a_n)$. Vuoi continuare tu?
\[
\lvert x_n\rvert\le C a_n^2, \]
dove $C>0$ è una costante che non dipende da $n$. Dobbiamo dimostrare che $x_n=o(a_n)$. Vuoi continuare tu?
Ecco, io mi sono solo "attaccato" alla definizione di o-piccolo tralasciando l'O-grande (nel senso che l'ho utilizzato solo per svolgere i conti e arrivare al risultato).
premessa che voglio capire bene in quanto ho l'orale a giorni, voglio seguire il tuo ragionamento (sono un po' debole sui simboli di landau ).
Tu hai considerato una successione $a_n$ e applicato la definizione dell'O-grande nel caso in cui $x_n = O((a_n)^2)$
Quindi hai posto che $|(x_n)/((a_n)^2)| <= C$ Dove C è una costante minore di infinito.
$x_n <= C((a_n)^2)$ e fin qui è l'applicazione della formula.
Ma poi per la dimostrazione che questo valore $x_n = o(a_n)$? Come si fa?
Bisogna applicare ancora il limite come fatto precedentemente da me nell'altro post?
$Lim_(n -> 0) (C((a_n)^2))/(a_n)$?
O sono fuori strada?
premessa che voglio capire bene in quanto ho l'orale a giorni, voglio seguire il tuo ragionamento (sono un po' debole sui simboli di landau
).Tu hai considerato una successione $a_n$ e applicato la definizione dell'O-grande nel caso in cui $x_n = O((a_n)^2)$
Quindi hai posto che $|(x_n)/((a_n)^2)| <= C$ Dove C è una costante minore di infinito.
$x_n <= C((a_n)^2)$ e fin qui è l'applicazione della formula.
Ma poi per la dimostrazione che questo valore $x_n = o(a_n)$? Come si fa?
Bisogna applicare ancora il limite come fatto precedentemente da me nell'altro post?
$Lim_(n -> 0) (C((a_n)^2))/(a_n)$?
O sono fuori strada?
E si, tu vuoi dimostrare che $x_n=o(a_n)$, giusto? Questo significa esattamente dover dimostrare che
\[
\lim_{n\to \infty} \frac{x_n}{a_n}=0.
\]
Per dimostrare questo evidentemente devi usare la disuguaglianza \(\lvert x_n\rvert\le C a_n^2\) (NOTA BENE: Non ti scordare il valore assoluto).
\[
\lim_{n\to \infty} \frac{x_n}{a_n}=0.
\]
Per dimostrare questo evidentemente devi usare la disuguaglianza \(\lvert x_n\rvert\le C a_n^2\) (NOTA BENE: Non ti scordare il valore assoluto).
uhm, senti...ammetto di non capire!! inizialmente pensavo di fare il $Lim_(a_n ->0) (C((a_n)^2))/a_n $ semplificando $a_n$ al numeratore ottenendo così $Lim_(a_n ->0) C(a_n)$;
Ma tu hai poi accennato al fatto che bisogna mantenere il valore assoluto...ma in che senso? O non capisco, o boh XD
Nel senso che se io faccio il $Lim_(n -> infty) x_n/a_n $ poi come proseguo? É come se avessi "due incognite" (permettimi il termine che capisco sia usato in un contesto errato) che però non mi permettono di stimare il limite...
Ma tu hai poi accennato al fatto che bisogna mantenere il valore assoluto...ma in che senso? O non capisco, o boh XD
Nel senso che se io faccio il $Lim_(n -> infty) x_n/a_n $ poi come proseguo? É come se avessi "due incognite" (permettimi il termine che capisco sia usato in un contesto errato) che però non mi permettono di stimare il limite...
Si ma è giusto, alla fine calcolerai esattamente il limite che stai pensando di calcolare. E' il procedimento logico che devi rinforzare.
Il valore assoluto serve perché non c'è scritto da nessuna parte che $x_n$ sia positiva. Se scrivi solo \(x_n\le Ca_n^2\), allora potrebbe pure darsi che $x_n$ sia composta da numeri negativi molto grandi in valore assoluto, che so, \(x_n=-n\text{ milioni}\). In questo caso, altro che o piccolo.
Mi spiego?
Per l'esercizio specifico, il ragionamento corretto è questo. Vogliamo dimostrare che \(\lim_{n\to \infty} {x_n\over a_n}=0\). In valore assoluto abbiamo che
\[
0\le \left\lvert{x_n \over a_n}\right\rvert\le C {a_n^2\over \lvert a_n\rvert} = C \lvert a_n\rvert.\]
Siccome il membro destro tende a \(0\) per ipotesi, per il teorema dei due carabinieri possiamo concludere che
\[
\lim_{n\to \infty} \left\lvert{x_n\over a_n}\right\rvert=0, \]
ed è proprio questo che vogliamo dimostrare (se servisse, ricordiamoci che una successione o una funzione tende a zero se e solo se il proprio valore assoluto fa altrettanto).
Il valore assoluto serve perché non c'è scritto da nessuna parte che $x_n$ sia positiva. Se scrivi solo \(x_n\le Ca_n^2\), allora potrebbe pure darsi che $x_n$ sia composta da numeri negativi molto grandi in valore assoluto, che so, \(x_n=-n\text{ milioni}\). In questo caso, altro che o piccolo.
Mi spiego?
Per l'esercizio specifico, il ragionamento corretto è questo. Vogliamo dimostrare che \(\lim_{n\to \infty} {x_n\over a_n}=0\). In valore assoluto abbiamo che
\[
0\le \left\lvert{x_n \over a_n}\right\rvert\le C {a_n^2\over \lvert a_n\rvert} = C \lvert a_n\rvert.\]
Siccome il membro destro tende a \(0\) per ipotesi, per il teorema dei due carabinieri possiamo concludere che
\[
\lim_{n\to \infty} \left\lvert{x_n\over a_n}\right\rvert=0, \]
ed è proprio questo che vogliamo dimostrare (se servisse, ricordiamoci che una successione o una funzione tende a zero se e solo se il proprio valore assoluto fa altrettanto).
Ciao, grazie per la tua spiegazione Voglio solo chiederti una delucidazione:
Quando dici: "Siccome il membro destro tende a 0 per ipotesi" fai riferimento all'o-piccolo che manda a zero $C|a_n|$? Mi sembra di avere inteso giusto, o no?
Voglio solo chiederti una delucidazione:Quando dici: "Siccome il membro destro tende a 0 per ipotesi" fai riferimento all'o-piccolo che manda a zero $C|a_n|$? Mi sembra di avere inteso giusto, o no?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo