Simboli di infinitesimi
Scusate, qualcuno mi sa dire che significa questa espressione?
f(x)= l+o(1) per x che tende a $x_0$
da quello che ho capito l è il limite di f(x) per x che tende a $x_0$, ma quella espressione cosa vuole dire?
f(x)= l+o(1) per x che tende a $x_0$
da quello che ho capito l è il limite di f(x) per x che tende a $x_0$, ma quella espressione cosa vuole dire?
Risposte
ciao!
è un espressione annoverata tra i cosiddetti "simboli di Landau", si tratta di "o piccolo di.."
dire che $f(x)=l+o(1)$ significa dire che, quando $x->x_0$ $f(x)$ è uguale a $l$ "più una quantità che tende a 0 più velocemente di 1".
In generale, date due funzioni $f$ e $g$, con $g(x)!=0$ in un intorno di $x_0$, si dice che $f(x)=o(g(x))$ se $lim_(x->x_0)f(x)/g(x)=0$
perchè, in effetti, $f$ tende a 0 più velocemente di $g$.
spero di esserti stato d'aiuto:-)
è un espressione annoverata tra i cosiddetti "simboli di Landau", si tratta di "o piccolo di.."
dire che $f(x)=l+o(1)$ significa dire che, quando $x->x_0$ $f(x)$ è uguale a $l$ "più una quantità che tende a 0 più velocemente di 1".
In generale, date due funzioni $f$ e $g$, con $g(x)!=0$ in un intorno di $x_0$, si dice che $f(x)=o(g(x))$ se $lim_(x->x_0)f(x)/g(x)=0$
perchè, in effetti, $f$ tende a 0 più velocemente di $g$.
spero di esserti stato d'aiuto:-)
Ma 1 è una costante, quindi non può tendere a zero. La definizione di infinitesimo credo di averla capita, ma non capisco l'uso di questa simbologia nel calcolo dei limiti. Poi scusami, un'altra cosa, l'ordine di infinitesimo, per esempio ordine 2, significherebbe 2 volte piu veloce?
cominciamo con l'ordine di infinitesimo.
diciamo che $f$ è infinitesimo di ordine superiore rispetto a $g$, in un intorno di $x_0$ se $lim_(x->x_0)f(x)/g(x)=0$;
è infinitesimo dello stesso ordine se $lim_(x->x_0)f(x)/g(x)=l$, con $l$ finito e $linRR$
è ivece infinitesimo di ordine inferiore se $lim_(x->x_0)f(x)/g(x)=oo$
cioè, nel primo caso $f(x)$ tende a 0 più velocemente di $g(x)$, nel secondo tendono a 0 con la stessa velocità e nel terzo $f(x)$ è più lenta.
per esempio, $x^2$ è infinitesimo di ordine superiore rispetto a $x$, infatti, $lim_(x->oo)x/x^2=0$ e assumendo $x$ come infinitesimo di ordine 1, possiamo dire che $x^2$ è un infinitesimo di ordine 2.
Detto ciò, non è necessario che l'argomento dell'o piccolo tenda a qualcosa. Infatti, le costanti, poichè non tendono a nulla (se non a se stesse), hanno ordine di infinitesimo uguale a zero.
quindi, dire che $f(x)=o(k)$ con $k$ costante qualunque, significa semplicemente dire che $f(x)$ è infinitesimo, senza specificare un ordine.
Venendo all'espressione $f(x)=l+o(1)$ per $x->x_0$, questo significa che in un intorno di $x_0$ $f(x)$ vale $l$ + una quantità infinitesima, e pertanto trascurabile rispetto allo stesso $l$.
diciamo che $f$ è infinitesimo di ordine superiore rispetto a $g$, in un intorno di $x_0$ se $lim_(x->x_0)f(x)/g(x)=0$;
è infinitesimo dello stesso ordine se $lim_(x->x_0)f(x)/g(x)=l$, con $l$ finito e $linRR$
è ivece infinitesimo di ordine inferiore se $lim_(x->x_0)f(x)/g(x)=oo$
cioè, nel primo caso $f(x)$ tende a 0 più velocemente di $g(x)$, nel secondo tendono a 0 con la stessa velocità e nel terzo $f(x)$ è più lenta.
per esempio, $x^2$ è infinitesimo di ordine superiore rispetto a $x$, infatti, $lim_(x->oo)x/x^2=0$ e assumendo $x$ come infinitesimo di ordine 1, possiamo dire che $x^2$ è un infinitesimo di ordine 2.
Detto ciò, non è necessario che l'argomento dell'o piccolo tenda a qualcosa. Infatti, le costanti, poichè non tendono a nulla (se non a se stesse), hanno ordine di infinitesimo uguale a zero.
quindi, dire che $f(x)=o(k)$ con $k$ costante qualunque, significa semplicemente dire che $f(x)$ è infinitesimo, senza specificare un ordine.
Venendo all'espressione $f(x)=l+o(1)$ per $x->x_0$, questo significa che in un intorno di $x_0$ $f(x)$ vale $l$ + una quantità infinitesima, e pertanto trascurabile rispetto allo stesso $l$.
Ti ringrazio, adesso ho capito.
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