Significato geometrico e fisico dello jacobiano

[ludwigZero]

salve
questo argomento riguarda la parte di integrali doppi:
nel cambiamento di variabile da $R^2 -> R^2$ in un integrale doppio, si fa uso della matrice jacobiana

tale trasformazione deve essere:
1) invertibile: l'invertibilità deve essere globale e non solo locale
2) $x(u,v)$ e $y(u,v)$ di classe $C^1$

ora, se il determinante che si indica con la notazione $(d(x,y))/d(u,v)$ se è non nulla, allora la matrice ha rango 2, gli elementi della matrice (i vettori) sono L.I

fin qui, mi trovo.

ma ciò che non capisco, è 'intuitivamente' senza voler sapere alcuna notazione rigorosa, che significa che l'invertibilità deve essere globale e non solo locale in cui la trasformazione è invertibile.

domanda 1) invertibilità globale INCLUDE invertibilità locale? esiste il viceversa?
domanda 2) per avere invertibilità globale ci vuole anche l'ipotesi che le frontiere sono in corrispondenza ($T->D$), in che senso sono in corrispondenza? io risponderei cosi: ad ogni coppia del dominio di partenza T si associa una coppia del dominio D d'arrivo ovvero: $(x,y) -> (u,v)$

domanda 3) ho letto che lo jacobiano descrive la trasformazione delle aree e la deformazione di esse. Ma 'fisicamente' in cosa consiste?

spero qualcuno mi illumini un pò....

[gugo82]

"ludwigZero":domanda 1) invertibilità globale INCLUDE invertibilità locale?

Chiariamo le definizioni.
Siano \(\Omega, \Delta \subseteq \mathbb{R}^2\).

[list=1]
[*:v1amlixn] Una mappa \(F:\Omega\to \Delta\) si dice invertibile intorno ad un punto \(u_0,v_0\) se e solo se:
\[
\exists I\subseteq \Omega \text{ intorno di } (u_0,v_0),\ \exists J\subseteq \Delta \text{ intorno di } F(u_0,v_0):\ F_{I,J}:I\to J \text{ è biiettiva (e dunque invertibile);}
\]in tal caso, la mappa \(F_{I,J}^{-1}\) si chiama inversa di \(F\) intorno a \((u_0,v_0)\).

[/*:m:v1amlixn]
[*:v1amlixn] Una mappa \(F:\Omega\to \Delta^2\) è detta localmente invertibile in \(\mathbb{R}^2\) se e solo se essa è invertibile intorno ad ogni punto di \(\Omega\).

[/*:m:v1amlixn]
[*:v1amlixn] Una mappa \(F:\Omega\to \Delta\) si dice globalmente invertibile in \(\mathbb{R}^2\) se e solo se essa è biiettiva (ossia invertibile); in tal caso, la mappa \(F^{-1}:\Delta \to \Omega\) si chiama inversa globale di \(F\).[/*:m:v1amlixn][/list:o:v1amlixn]

Ora, dalla definizione è chiaro che se una mappa è globalmente invertibile, allora essa è invertibile intorno ad ogni punto di \(\Omega\) (basta prendere \(I=\Omega\), \(J=\Delta\) ed \(F_{I,J} =F\)); dunque una mappa globalmente invertibile è anche localmente invertibile.

Ad esempio, se \(\Omega=\mathbb{R}^2=\Delta\),la mappa \(F:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2\) definita ponendo:
\[
F(u,v) := A\cdot \begin{pmatrix} u\\ v\end{pmatrix}\; ,
\]
ove \(A\in \mathbb{GL}(2;\mathbb{R})\) (i.e., \(A\) è una matrice invertibile di ordine due) e \(\cdot\) è il prodotto riga-colona, è globalmente invertibile e la sua inversa è la mappa \(F^{-1}:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2\) definita da:
\[
F^{-1}(x,y) := A^{-1}\cdot \begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix}\; .
\]

"ludwigZero":esiste il viceversa?

Ovviamente no.

Ad esempio, la mappa polare \(F:]0,+\infty[\times \mathbb{R} \to \mathbb{R}^2\setminus \{o\}\) definita ponendo:
\[
F(u,v) = (u\ \cos v,\ u\ \sin v)
\]
non è globalmente invertibile perchè non è iniettiva (e dunque non è nemmeno biiettiva): infatti, un semplice calcolo mostra che:
\[
F(u,v)=F(u,v+2k\pi)
\]
per ogni \((u,v)\in ]0,+\infty[\times \mathbb{R}\) ed ogni \(k\in \mathbb{Z}\).
Tuttavia, la \(F\) è invertibile intorno ad ogni \((u_0,v_0)\in ]0,+\infty[\times \mathbb{R}\): invero, si vede che prendendo
\[
\begin{split}
I &:=]0,u_0+1[\times ]v_0-\pi,v_0+\pi[ \\
J &:= \{ (x,y)\in \mathbb{R}^2 : 0 \end{split}
\]
la corrispondenza \(F_{I,J}:I\to J\) è biiettiva.

"ludwigZero":domanda 2) per avere invertibilità globale ci vuole anche l'ipotesi che le frontiere sono in corrispondenza ($T->D$), in che senso sono in corrispondenza? io risponderei cosi: ad ogni coppia del dominio di partenza T si associa una coppia del dominio D d'arrivo ovvero: $(x,y) -> (u,v)$

"Le frontiere sono in corrispondenza" vuol dire che se hai una mappa \(F:\Omega \to \Delta\), deve succedere che \(\partial \Delta =F(\partial \Omega)\) (l'immagine della frontiera di \(\Omega\) mediante \(F\) coincide con la frontiera di \(\Delta\)).

"ludwigZero":domanda 3) ho letto che lo jacobiano descrive la trasformazione delle aree e la deformazione di esse. Ma 'fisicamente' in cosa consiste?

Supponiamo di avere due regioni \(\Omega, \Delta \subseteq \mathbb{R}^2\) tra la quali agisca una mappa \(F:\Omega \ni (u,v) \to (x,y)\in \Delta\) che soddisfa le ipotesi del teorema del cambiamento di variabili negli integrali doppi.
Allora, applicando il teorema alla funzione \(f(x,y)=1\) definita in \(\Omega\) trovi:
\[
\iint_\Delta \text{d} x\text{d} y = \iint_\Omega \left|\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}\right|\ \text{d} u\text{d}v
\]
il che "fisicamente" lo interpreti dicendo che l'elemento infinitesimo di superficie in \(\Delta\) intorno ad un punto \((x_0,y_0)\), i.e. \(\text{d}x\text{d}y\), si ottiene dal corrispondente elemento infinitesimo di superficie di \(\Omega\) intorno al punto \((u_0,v_0)\) (tale che \((x_0,y_0)=F(u_0,v_0)\)), i.e. \(\text{d}u\text{d}v\), moltiplicandolo per il "fattore di scala" \(|\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}|\) calcolato in \((u_0,v_0)\); in formule:
\[
\text{d}x\text{d}y \Big|_{\text{intorno a } (x_0,y_0)} = \left| \frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}(u_0,v_0)\right|\ \text{d} u\text{d} v\; .
\]