Significato geometrico e analitico del gradiente

[Mathcrazy]

Salve a tutti,
volevo togliermi una curiosità.
A quanto ho capito, in parole povere, il gradiente è un vettore che ha come componenti le derivate parziali di una funzione in due variabili.
Supponiamo di avere la funzione:
$f(x,y) = x^2 + y^2 $

Le derivate parziali sono:

$(del f)/(del x) = 2x $

$(del f)/(del y) = 2y$

Quindi il gradiente avrà componenti $(2x,2y)$ .
Fin qui tutti chiaro.

Ma generalmente cosa posso concludere sulla direzione e verso del vettore gradiente?
Cioè rispetto ad un punto $P_0$, il gradiente ha sempre la stessa direzione e verso, vero?
mi interessava proprio un approfondimento geometrico sul vettore gradiente, spero di aver reso al meglio il mio dubbio.

Grazie.

[gugo82]

Non capisco cosa tu voglia dire qui:

"Mathcrazy":Ma generalmente cosa posso concludere sulla direzione e verso del vettore gradiente?
Cioè rispetto ad un punto $P_0$, il gradiente ha sempre la stessa direzione e verso, vero?

[Mathcrazy]

Cioè il gradiente è un vettore.
Come tutti i vettore viene descritto da modulo, direzione e verso.
Volevo solo avere informazioni geometriche sul gradiente $nabla f(P_0)$ (cioè rispetto ad un punto qualunque $P_0$)

Cioè forse sarò io, ma non riesco ad immaginarmi questo vettore nello spazio.
Ho capito che le sue componenti sono le derivate parziali, ma nella sostanza cosa rappresenta?

sarà forse che mi confondo con il versore che si usa nelle derivate direzionali.

[gugo82]

Ma infatti non è un vettore "dello spazio", ma "del piano".

Quando immagini il gradiente, devi pensarlo come un vettore del piano applicato al punto [tex]$P_0=(x_0,y_0)$[/tex]; precisamente come il vettore di componenti [tex]$(f_x(x_0,y_0),f_y(x_0,y_0))$[/tex] applicato in [tex]$P_0$[/tex].

Ad esempio, la funzione [tex]$f(x,y):=x^2+y^2$[/tex] ha gradiente [tex]$Df(x,y):=(2x,2y)$[/tex]; in [tex]$P_0=(1,2)$[/tex] il gradiente è [tex]$Df(1,2)=(2,4)$[/tex], mentre in [tex]$P_1=(-1,1)$[/tex] è [tex]$Df(-1,1)=(-2,2)$[/tex] e lo puoi immaginare così:
[asvg]xmin=-3;xmax=7;ymin=-3;ymax=7;
axes("","");
dot([-1,1]);
text([-1,1],"P1",below);
dot([1,2]);
text([1,2],"P0",below);
marker="arrow";
line([1,2],[3,6]);
line([-1,1],[-3,3]);[/asvg]
La direzione del gradiente ti indica la retta seguendo la quale trovi il massimo incremento della [tex]$f$[/tex] intorno al punto in cui è calcolato.

Evidentemente il vettore gradiente ha, in generale, direzione e verso diversi punto per punto.
Però si può mostrare che, se l'insieme di definizione è connesso, le uniche funzioni ad avere gradiente costante in tale insieme sia direzione sia in verso sono quelle affini, cioè del tipo [tex]$f(x,y)=ax+by+c$[/tex] con [tex]$a,b\in \mathbb{R}$[/tex] uguali alle componenti del gradiente e [tex]$c\in \mathbb{R}$[/tex] da determinare con un semplice conto.

[Mathcrazy]

Si ovviamente si tratta di un vettore nel piano!, avevo sbagliato a digitare :p
Ho capito ora,grazie!
Gugo se il gradiente fosse nullo, a parte il fatto che le derivate direzionali sarebbero tutte nulle, cosa potremmo concludere sulla funzione, geometricamente e formalmente?

[Camillo]

I punti di max , di min e di sella hanno gradiente nullo e quindi piano tangente parallelo al piano $xy $.
La ricerca dei punti di max min e sella si effettua cercando i punti con gradiente nullo , risolvendo cioè il sistema

$f_x=0 $
$f_y =0 $
Se ne analizza poi successivamente la natura.
(Naturalemnte nel caso di funzione di 2 variabili, facilmente estendibile al caso di n variabili)

[Steven11]

"Camillo":I punti di max , di min e di sella hanno gradiente nullo e quindi piano tangente parallelo al piano $xy $.

Naturalmente, penso Camillo stesse sottointendendo, può esserci benissimo un punto di min e max dove però non esistono le derivate parziali, come nel caso della funzione che Fioravante ti ha proposto nell'altro topic (0 era minimo).

[Camillo]

Infatti lo sottointendevo, ho preferito non esplicitarlo per non "complicare" la spiegazione ma è doveroso farlo presente