Significato forma chiusa su un dominio semplicemente connesso

[fluspiral]

Salve a tutti,
qualcuno sa spiegarmi perchè una forma differenziale chiusa in un dominio semplicemente connesso è anche esatta (e quindi esiste almeno una funzione chiamata potenziale, primitiva della forma differenziale), mentre in un dominio connesso (non semplicemente) non lo si può dire a priori ma si deve verificare? Dal punto di vista fisico, perchè nel primo caso si può concludere che il campo vettoriale (associato alla forma differenziale) è conservativo, mentre nel secondo no?
Cosa potrebbe succedere in un dominio connesso che rende diverso il valore degli integrali calcolato su curve diverse ma con gli stessi punti iniziali e finali?

[megas_archon]

Ci sono diversi modi di rispondere a una domanda che, in matematica, chiede "perché" questo accade. Quello che chiedi accade "perché" si trovano delle forme differenziali che sono chiuse, ma non esatte, ad esempio $d\theta$ (in coordinate polari).

Ora, qual è il motivo "perché" queste forme differenziali si possono trovare? Beh, in definitiva la ragione è che certi invarianti del dominio dove $\omega$ è definita, che sono calcolabili in termini di $\omega$, sono diversi da zero. E questo, ancora più in profondità, è conseguenza (di una opportuna astrazione) del fatto che un cerchio e un disco sono, in maniera inerente e inevitabile, "forme" diverse.

[Bokonon]

Magari questa riflessione di Gugo82 può aiutarti
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 7#p8358150