Significato differenziale applicato a un vettore

[daddets]

Salve ragazzi,
è da un po' di giorni che cerco delucidazioni sul significato geometrico del differenziale di una funzione applicato a un vettore. Vado più nello specifico.
Ho una funzione scalare $ f:R^2 \rightarrow R $ che è differenziabile nel punto $ x_0 $ . Questo comporta l'esistenza $ \forall v \ne 0 $ di $ \frac{\partial f}{\partial v}(x_0) $ e si ha inoltre: $$ df(x_0)(v) = \frac{\partial f}{\partial v}(x_0) = (\nabla f(x_0),v)_2 $$
Quello che non riesco a capire è come fa in particolare a essere $ \frac{\partial f}{\partial v}(x_0) = (\nabla f(x_0),v)_2 $. Geometricamente il prodotto scalare euclideo tra due vettori consiste nel moltiplicare la proiezione di uno dei due vettori sul secondo, per la lunghezza di quest'ultimo (lasciatemi passare la terminologia.. ). Allora nel caso della derivata parziale di $ f $ rispetto a $ x $ nel punto $ x_0 $, questa sarà uguale alla lunghezza della proiezione di $ \nabla f(x_0) $ sul piano $ y=0 $ ? E' possibile che tale lunghezza sia uguale all'incremento della funzione nel punto?
Un altro caso è quello del teorema del valore medio. Per funzioni di una variabile il significato geometrico era evidente, ma nel caso di funzioni di più variabili ciò mi sfugge. La tesi del teorema è che $ \forall x,y \in A \exists t \in (0,1): $
$$ f(y)-f(x)=df(x+t(y-x))(y-x) $$
A destra abbiamo il differenziale applicato al vettore $ y-x $ e questo mi crea confusione perché non c'è più un "rapporto incrementale"..
Ragazzi spero di essere stato chiaro e di non avere scritto strafalcioni.

Grazie per qualsiasi intervento .

[Luca.Lussardi]

Sul gradiente: quando hai capito che il gradiente punta nella direzione di massima pendenza del grafico di $f$ tutto forse e' piu' chiaro.