Significato differenziabilità più variabili
Ciao a tutti, avrei bisogno di un chiarimento sul concetto di differenziabilità in più variabili.
Premessa:
1) DERIVATA:
Caso $1$ variabile: La derivata di una funzione (in un punto) rappresenta il coefficiente angolare della retta tangente alla funzione in quel punto.
Caso $2$ variabili: La derivata direzionale (di un punto rispetto ad un vettore v) di una funzione ha il seguente significato geometrico: immaginiamo di tagliare la curva con un piano avente stessa direzione e verso del vettore v, otterremo così una curva in una dimensione: la derivata rappresenta quindi le rette tangenti a quella curva (ci saranno due rette se il vettore v avrà le due componenti non nulle chiaramente)
2) DIFFERENZIALE:
Caso $1$ variabile: Il differenziale vuol dire scrivere l'incremento della funzione come somma di tre pezzi: uno costante, uno proporzionale all'incremento e un "resto" (o-piccolo dell'incremento).
Caso $2$ variabili: il differenziale rappresenta sempre l'incremento di una funzione scritta come somma di tre pezzi: uno costante, il prodotto scalare tra il vettore incremento e la matrice Jacobiana, il resto (o-piccolo vettore incremento).
Fino a qui è tutto corretto? La mia domanda adesso è: qual è il significato geometrico del differenziale in $1$ e in $2$ variabili?
Grazie in anticipo a chiunque voglia aiutarmi
Premessa:
1) DERIVATA:
Caso $1$ variabile: La derivata di una funzione (in un punto) rappresenta il coefficiente angolare della retta tangente alla funzione in quel punto.
Caso $2$ variabili: La derivata direzionale (di un punto rispetto ad un vettore v) di una funzione ha il seguente significato geometrico: immaginiamo di tagliare la curva con un piano avente stessa direzione e verso del vettore v, otterremo così una curva in una dimensione: la derivata rappresenta quindi le rette tangenti a quella curva (ci saranno due rette se il vettore v avrà le due componenti non nulle chiaramente)
2) DIFFERENZIALE:
Caso $1$ variabile: Il differenziale vuol dire scrivere l'incremento della funzione come somma di tre pezzi: uno costante, uno proporzionale all'incremento e un "resto" (o-piccolo dell'incremento).
Caso $2$ variabili: il differenziale rappresenta sempre l'incremento di una funzione scritta come somma di tre pezzi: uno costante, il prodotto scalare tra il vettore incremento e la matrice Jacobiana, il resto (o-piccolo vettore incremento).
Fino a qui è tutto corretto? La mia domanda adesso è: qual è il significato geometrico del differenziale in $1$ e in $2$ variabili?
Grazie in anticipo a chiunque voglia aiutarmi
Risposte
Il differenziale per funzioni in una variabile è ben illustrato qui.
Per quanto riguarda le funzioni di più variabili, prendiamo una generica $f(x_1, x_2,...,x_n)$: il suo differenziale parziale rispetto alla variabile $x_i$ è $ (partial f)/(partial x_i)dx_i $, che coincide sostanzialmente con il differenziale della funzione $f(x_i)$ analoga alla nostra funzione di partenza ma dipendente dalla sola variabile $x_i$ (le altre vengono considerate come delle costanti); il suo differenziale totale è invece l'applicazione lineare:
La quale è rappresentata, in forma matriciale, da una matrice detta gradiente:
Tale matrice è di fatto un vettore che indica il verso in cui la funzione cresce più rapidamente.
Per quanto riguarda le funzioni di più variabili, prendiamo una generica $f(x_1, x_2,...,x_n)$: il suo differenziale parziale rispetto alla variabile $x_i$ è $ (partial f)/(partial x_i)dx_i $, che coincide sostanzialmente con il differenziale della funzione $f(x_i)$ analoga alla nostra funzione di partenza ma dipendente dalla sola variabile $x_i$ (le altre vengono considerate come delle costanti); il suo differenziale totale è invece l'applicazione lineare:
$ df = sum_(i = 1)^(n) (partial f)/(partial x_i)dx_i $
La quale è rappresentata, in forma matriciale, da una matrice detta gradiente:
$ grad f = ( (partialf)/(partial x_1) \ \ (partialf)/(partial x_2) \ \ ... \ \ (partialf)/(partial x_n) ) $
Tale matrice è di fatto un vettore che indica il verso in cui la funzione cresce più rapidamente.
"wrugg25":
Il differenziale per funzioni in una variabile è ben illustrato qui.
Per quanto riguarda le funzioni di più variabili, prendiamo una generica $f(x_1, x_2,...,x_n)$: il suo differenziale parziale rispetto alla variabile $x_i$ è $ (partial f)/(partial x_i)dx_i $, che coincide sostanzialmente con il differenziale della funzione $f(x_i)$ analoga alla nostra funzione di partenza ma dipendente dalla sola variabile $x_i$ (le altre vengono considerate come delle costanti); il suo differenziale totale è invece l'applicazione lineare:
$ df = sum_(i = 1)^(n) (partial f)/(partial x_i)dx_i $
La quale è rappresentata, in forma matriciale, da una matrice detta gradiente:
$ grad f = ( (partialf)/(partial x_1) \ \ (partialf)/(partial x_2) \ \ ... \ \ (partialf)/(partial x_n) ) $
Tale matrice è di fatto un vettore che indica il verso in cui la funzione cresce più rapidamente.
Ma in 3 o più variabili il differenziale non corrisponde al gradiente (caso particolare di R2), ma alla matrice Jacobiana. No? (avevo richiesto il significato di 2 variabili, ma tu hai scritto più variabili quindi meglio chiarire il concetto anche per chi leggerà in futuro)
E poi non ho ancora capito qual è il significato geometrico.
In un libro di testo si parlava anche di vettore tangente, e altro..vorrei capire cosa c'entrano..
Grazie ancora a chiunque voglia aiutarmi!
Fermo, aspetta: io ti ho scritto il caso di $f:R -> R$ ed il caso $f:R^n -> R$; il caso cui ti riferisci tu è invece quello, più generico, $f:R^n->R^m$: per tali funzioni, in effetti, il differenziale totale ha come matrice associata proprio la matrice jacobiana $ J_f = ( ( gradf_1 ),( gradf_2 ),( ... ),( gradf_m ) ) $.
Per quanto riguarda il significato geometrico del gradiente, è esattamente quello che ti ho già scritto:
La qual cosa puoi trovare, spiegata da Gugo82, in questo topic del forum.
Per quanto riguarda il significato geometrico della jacobiana, mi limito a sottolineare due casi:
- Visto che hai parlato di vettore tangente: nel caso in cui si parli di funzioni $f:R->R^m$ (e cioè, di parametrizzazioni delle curve di $R^m$) la jacobiana assume la forma $ J_f(x) = ( ( f'_1(x) ),( f'_2(x) ),( ... ),( f'_m(x) ) ) $ , ed in tal caso corrisponde al vettore tangente alla curva nel punto considerato.
- Come potrai immaginare, nel caso in cui sia $m = 1$, si ritorna alla forma $f:R^n -> R$, e ovviamente la matrice jacobiana in tal caso coincide con il gradiente della funzione.
Per una trattazione più completa del significato geometrico della jacobiana, ti consiglio la lettura di testi di matematica avanzata (credo che quel tipo di trattazione richieda conoscenze che non sono contenute nel programma di analisi 2... quindi suppongo che tu debba rivolgerti a dei testi di metodi matematici o qualcosa del genere)... oppure ti consiglio di attendere che utenti più competenti di me ti rispondano
Per quanto riguarda il significato geometrico del gradiente, è esattamente quello che ti ho già scritto:
"wrugg25":
Tale matrice è di fatto un vettore che indica il verso in cui la funzione cresce più rapidamente.
La qual cosa puoi trovare, spiegata da Gugo82, in questo topic del forum.
Per quanto riguarda il significato geometrico della jacobiana, mi limito a sottolineare due casi:
- Visto che hai parlato di vettore tangente: nel caso in cui si parli di funzioni $f:R->R^m$ (e cioè, di parametrizzazioni delle curve di $R^m$) la jacobiana assume la forma $ J_f(x) = ( ( f'_1(x) ),( f'_2(x) ),( ... ),( f'_m(x) ) ) $ , ed in tal caso corrisponde al vettore tangente alla curva nel punto considerato.
- Come potrai immaginare, nel caso in cui sia $m = 1$, si ritorna alla forma $f:R^n -> R$, e ovviamente la matrice jacobiana in tal caso coincide con il gradiente della funzione.
Per una trattazione più completa del significato geometrico della jacobiana, ti consiglio la lettura di testi di matematica avanzata (credo che quel tipo di trattazione richieda conoscenze che non sono contenute nel programma di analisi 2... quindi suppongo che tu debba rivolgerti a dei testi di metodi matematici o qualcosa del genere)... oppure ti consiglio di attendere che utenti più competenti di me ti rispondano
[size=85]Ok tutto chiaro. Ma ho ancora qualche domanda:
Se il differenziale è uguale al gradiente/Jacobiana allora perché si esprime la differenziabilità di una funzione dimostrandone la formula dell'incremento?
E poi il vettore tangente "a cosa serve" ? Cosa rappresenta ?
Grazie ancora![/size]
Edit: apro un altro 3d perché sennò finiamo OT parlando adesso di vettore tangente ed altro.
Se il differenziale è uguale al gradiente/Jacobiana allora perché si esprime la differenziabilità di una funzione dimostrandone la formula dell'incremento?
E poi il vettore tangente "a cosa serve" ? Cosa rappresenta ?
Grazie ancora![/size]
Edit: apro un altro 3d perché sennò finiamo OT parlando adesso di vettore tangente ed altro.
In effetti, forse aprire un altro thread è la scelta migliore, perchè se no qui si va a creare un guazzabuglio di enunciati e definizioni (anche perchè io non sono certamente il miglior docente al mondo )... alla prima domanda, però, rispondo in questo stesso thread (limitandomi sempre all'analisi delle funzioni scalari):
Attento: per le funzioni di più variabili, i concetti di derivabilità e differenziabilità non coincidono.
Analizziamo meglio la questione, partendo da una definizione:
E fin qui tutto chiaro... ma l'esistenza delle derivate parziali non assicura la continuità della funzione, come puoi notare studiando, per esempio, la funzione definita come $ f(x, y) = ((x^2y)/(x^4+y^2) )^2 $ per $(x, y) != (0, 0)$ & $f(x, y) = 0$ per $(x, y) = (0, 0)$: tale funzione non è continua in $(0, 0)$, eppure è ivi derivabile.
Inoltre, non è detto che valga la formula dell'incremento finito (che, nel caso di funzioni scalari in più variabili, sarebbe nella forma $ Delta f = gradf * (x-x_0) + o(|x-x_0|) $), come puoi notare studiando, per esempio, una funzione molto simile nella forma a quella vista poc'anzi:
$ f(x, y) = (x^2y)/(x^4+y^2) $ per $(x, y) != (0, 0)$
$f(x, y) = 0$ per $(x, y) = (0, 0)$
Pertanto, si può notare come il concetto di derivabilità per funzioni in più variabili non generalizzi realmente la derivabilità delle funzioni in una variabile.
Occorre pertanto introdurre un altro concetto, quello di differenziabilità:
A proposito, ne approfitto per mostrarti a dovere il differenziale di una funzione:
Continuiamo con il nostro discorso: come facciamo a sapere se una funzione è differenziabile in un punto?
Ci viene in aiuto, in questo caso, un teorema, che è detto teorema del differenziale totale (la cui dimostrazione puoi trovare qui - è la prima) e che enuncia quanto segue:
E io qui mi fermo: sono un "novellino dell'analisi" (ancora, non ho neanche fatto analisi 2, che nel mio percorso universitario è una delle materie del prossimo anno accademico...), e ho dato fondo a tutte le mie competenze, per risponderti fin'ora. Oltre questo punto, rischio di scrivere assurdità.
Spero comunque di averti aiutato a chiarire qualche dubbio
)... alla prima domanda, però, rispondo in questo stesso thread (limitandomi sempre all'analisi delle funzioni scalari):"Return89":
Se il differenziale è uguale al gradiente/Jacobiana allora perché si esprime la differenziabilità di una funzione dimostrandone la formula dell'incremento?
Attento: per le funzioni di più variabili, i concetti di derivabilità e differenziabilità non coincidono.
Analizziamo meglio la questione, partendo da una definizione:
Una funzione si dice derivabile in un punto se esistono finite tutte le sue derivate parziali in quel punto.
E fin qui tutto chiaro... ma l'esistenza delle derivate parziali non assicura la continuità della funzione, come puoi notare studiando, per esempio, la funzione definita come $ f(x, y) = ((x^2y)/(x^4+y^2) )^2 $ per $(x, y) != (0, 0)$ & $f(x, y) = 0$ per $(x, y) = (0, 0)$: tale funzione non è continua in $(0, 0)$, eppure è ivi derivabile.
Inoltre, non è detto che valga la formula dell'incremento finito (che, nel caso di funzioni scalari in più variabili, sarebbe nella forma $ Delta f = gradf * (x-x_0) + o(|x-x_0|) $), come puoi notare studiando, per esempio, una funzione molto simile nella forma a quella vista poc'anzi:
$ f(x, y) = (x^2y)/(x^4+y^2) $ per $(x, y) != (0, 0)$
$f(x, y) = 0$ per $(x, y) = (0, 0)$
Pertanto, si può notare come il concetto di derivabilità per funzioni in più variabili non generalizzi realmente la derivabilità delle funzioni in una variabile.
Occorre pertanto introdurre un altro concetto, quello di differenziabilità:
Una funzione f dicesi differenziabile in un punto $x_0$ interno al suo dominio se:
- è ivi derivabile
- vale ivi la formula dell'incremento finito (dalla quale, come puoi agevolmente notare, segue la continuità della funzione nel punto $x_0$)
A proposito, ne approfitto per mostrarti a dovere il differenziale di una funzione:
Continuiamo con il nostro discorso: come facciamo a sapere se una funzione è differenziabile in un punto?
Ci viene in aiuto, in questo caso, un teorema, che è detto teorema del differenziale totale (la cui dimostrazione puoi trovare qui - è la prima) e che enuncia quanto segue:
Una funzione è differenziabile in un punto $x_0$ se ammette in un suo intorno derivate parziali tutte continue
E io qui mi fermo: sono un "novellino dell'analisi" (ancora, non ho neanche fatto analisi 2, che nel mio percorso universitario è una delle materie del prossimo anno accademico...), e ho dato fondo a tutte le mie competenze, per risponderti fin'ora. Oltre questo punto, rischio di scrivere assurdità.
Spero comunque di averti aiutato a chiarire qualche dubbio
Si mi hai tolto ogni dubbio sulla differenziabilità. Grazie mille e complimenti, per non aver studiato Analisi 2 sei veramente molto preparato!
"Return89":
complimenti, per non aver studiato Analisi 2 sei veramente molto preparato!
Ti ringrazio
Alcune di queste cose le ho fatte durante il corso di geometria (materia che ho passato senza problemi - anche se con 21, a causa di un professore incommentabile...), e le ho approfondite per conto mio anticipando parte del programma di analisi 2 dal Canuto-Tabacco, che è il testo adottato di solito nel corso del Politecnico di Torino (che io frequento)...
Per la formulazione dei teoremi (che io, da bravo studente d'ingegneria, ricordo in forma molto discorsiva) e gli esempi, comunque, mi sono basato su dei libri
@wrugg[ot]
Un mio allievo si vuole iscrivere al polito l'anno prossimo, che consigli posso dargli?[/ot]
"wrugg25":[/quote]hai finito il primo anno?
[quote="Return89"] Politecnico di Torino (che io frequento)...
Un mio allievo si vuole iscrivere al polito l'anno prossimo, che consigli posso dargli?[/ot]
[ot]Il Politecnico è un'ottima università, per tanti motivi (che citerò nelle prossime righe).
Ma non è per tutti: a fronte di ottimi corsi (tenuti, in generale, da ottimi docenti - ci sono le eccezioni, come il mio ex professore di geometria, ma sono una minoranza) e di un'organizzazione didattica veramente "student-friendly" (per capirci: al primo anno ci sono solo 5 materie, così che lo studente possa familiarizzare con lo studio universitario - che, sai bene, è di tutt'altro tipo rispetto a quello scolastico), si richiedono allo studente la capacità e la volontà di capire i contenuti studiati: all'esame, lo studio "a memoria" non esiste, così come non esistono i favori assurdi (per capirci: corso di geometria dell'Università di Messina, il professore ha messo [size=180]34[/size] all'orale ad un mio conoscente, perchè con meno non avrebbe passato l'esame avendo fatto uno scritto vergognoso. Ecco, queste cose al PoliTo non esistono - o almeno io, osservando e monitorando 6-7 corsi di ciascuna materia del primo anno, non le ho viste accadere).
Ecco, visto che siamo in tema di esami: per poter inserire nel proprio carico didattico materie del secondo anno (o di anni ancora successivi), occorre aver totalizzato almeno 28 CFU dei 48 disponibili (10 per analisi 1, fisica 1 e geometria; 8 per fondamenti d'informatica e chimica) per il primo anno entro la fine di Settembre. Se ciò non avviene, per tutto l'anno accademico venturo lo studente è vincolato ai corsi del primo anno non ancora superati, e non può inserire nel carico didattico altre materie.
Personalmente, ho già superato il primo anno, perchè ho già il numero di crediti necessario:
Analisi 1: 29
Chimica: 25
Geometria: 21 (ma era un 26
)
Informatica: 30 (
)
Ma non intendo lasciare indietro Fisica 1, che infatti sto preparando, nel tempo libero, quest'estate, così da poterla dare a Settembre.
A proposito di fisica 1, ci sono vari motivi per cui non voglio lasciarla indietro, ed uno di questi potrebbe interessare al tuo studente: si tratta di una "materia-scoglio", di quelle che statisticamente risultano per gli studenti molto difficili da superare (per il primo anno ce ne sono due così: l'altra è analisi 1... anche se io l'ho passata con estrema facilità, e non ho preso 30 solo perchè al posto del dominio massimale di un'equazione differenziale - che sapevo determinare - ho scritto per distrazione un'altra cosa )... e io non voglio questa "palla al piede" nel mio percorso futuro.
Ah, quasi dimenticavo: la prova di ammissione. Credo che il tuo studente conosca già il regolamento e tutto, quindi non mi dilungo. Voglio solo sottolineare una cosa: che non si preoccupi se ottiene un punteggio basso, perchè tanto da metà Settembre in poi ci sono tre "ripescaggi", ed è molto probabile che quindi lui possa immatricolarsi anche con un punteggio basso. L'unica questione è che potrebbe essere assegnato ad un CDL diverso da quello di sua preferenza (ma tanto, a fare il cambio a fine anno ci vuole poco). In tal senso, è essenziale che lui, all'atto della registrazione sul sito, indichi più CDL preferiti, così da poter essere indirizzato, qualora la sua prima scelta non fosse disponibile, in uno degli altri selezionati.
Ah, e ancora un'altra cosa sui corsi di studio (lo so, salto di palo in frasca... ma ci sono tante cose da dire ), e precisamente sui libri di testo: conviene che compri quelli scritti dal suo stesso docente, o comunque da qualche docente del PoliTo. Non dico questo solo per i motivi "classici" (mi pare ovvio che ogni docente, se ha scritto un libro, segua quello nel corso delle sue lezioni), ma anche perchè mi sono accorto che, in generale, i libri scritti dai docenti del PoliTo sono di qualità superiore alla media dei testi sul mercato.
E ancora: il PoliTo mette a disposizione, per molti corsi (quelli comuni, nonchè tutti quelli di ingegneria informatica - che è il mio CDL - ed elettronica), le videoregistrazioni di tutte le lezioni (a volte realizzate in anni precedenti). Si tratta di un supporto didattico veramente valido, e che merita di essere sfruttato (soprattutto per quei corsi, come chimica o geometria, che sembrano essere ricettacoli di "docenti indecenti").
E così concludo la mia panoramica. Se hai altre domande, chiedi pure[/ot]
Ma non è per tutti: a fronte di ottimi corsi (tenuti, in generale, da ottimi docenti - ci sono le eccezioni, come il mio ex professore di geometria, ma sono una minoranza) e di un'organizzazione didattica veramente "student-friendly" (per capirci: al primo anno ci sono solo 5 materie, così che lo studente possa familiarizzare con lo studio universitario - che, sai bene, è di tutt'altro tipo rispetto a quello scolastico), si richiedono allo studente la capacità e la volontà di capire i contenuti studiati: all'esame, lo studio "a memoria" non esiste, così come non esistono i favori assurdi (per capirci: corso di geometria dell'Università di Messina, il professore ha messo [size=180]34[/size] all'orale ad un mio conoscente, perchè con meno non avrebbe passato l'esame avendo fatto uno scritto vergognoso. Ecco, queste cose al PoliTo non esistono - o almeno io, osservando e monitorando 6-7 corsi di ciascuna materia del primo anno, non le ho viste accadere).
Ecco, visto che siamo in tema di esami: per poter inserire nel proprio carico didattico materie del secondo anno (o di anni ancora successivi), occorre aver totalizzato almeno 28 CFU dei 48 disponibili (10 per analisi 1, fisica 1 e geometria; 8 per fondamenti d'informatica e chimica) per il primo anno entro la fine di Settembre. Se ciò non avviene, per tutto l'anno accademico venturo lo studente è vincolato ai corsi del primo anno non ancora superati, e non può inserire nel carico didattico altre materie.
Personalmente, ho già superato il primo anno, perchè ho già il numero di crediti necessario:
Analisi 1: 29
Chimica: 25
Geometria: 21 (ma era un 26
)Informatica: 30 (
)Ma non intendo lasciare indietro Fisica 1, che infatti sto preparando, nel tempo libero, quest'estate, così da poterla dare a Settembre.
A proposito di fisica 1, ci sono vari motivi per cui non voglio lasciarla indietro, ed uno di questi potrebbe interessare al tuo studente: si tratta di una "materia-scoglio", di quelle che statisticamente risultano per gli studenti molto difficili da superare (per il primo anno ce ne sono due così: l'altra è analisi 1... anche se io l'ho passata con estrema facilità, e non ho preso 30 solo perchè al posto del dominio massimale di un'equazione differenziale - che sapevo determinare - ho scritto per distrazione un'altra cosa
)... e io non voglio questa "palla al piede" nel mio percorso futuro.Ah, quasi dimenticavo: la prova di ammissione. Credo che il tuo studente conosca già il regolamento e tutto, quindi non mi dilungo. Voglio solo sottolineare una cosa: che non si preoccupi se ottiene un punteggio basso, perchè tanto da metà Settembre in poi ci sono tre "ripescaggi", ed è molto probabile che quindi lui possa immatricolarsi anche con un punteggio basso. L'unica questione è che potrebbe essere assegnato ad un CDL diverso da quello di sua preferenza (ma tanto, a fare il cambio a fine anno ci vuole poco). In tal senso, è essenziale che lui, all'atto della registrazione sul sito, indichi più CDL preferiti, così da poter essere indirizzato, qualora la sua prima scelta non fosse disponibile, in uno degli altri selezionati.
Ah, e ancora un'altra cosa sui corsi di studio (lo so, salto di palo in frasca... ma ci sono tante cose da dire
), e precisamente sui libri di testo: conviene che compri quelli scritti dal suo stesso docente, o comunque da qualche docente del PoliTo. Non dico questo solo per i motivi "classici" (mi pare ovvio che ogni docente, se ha scritto un libro, segua quello nel corso delle sue lezioni), ma anche perchè mi sono accorto che, in generale, i libri scritti dai docenti del PoliTo sono di qualità superiore alla media dei testi sul mercato.E ancora: il PoliTo mette a disposizione, per molti corsi (quelli comuni, nonchè tutti quelli di ingegneria informatica - che è il mio CDL
- ed elettronica), le videoregistrazioni di tutte le lezioni (a volte realizzate in anni precedenti). Si tratta di un supporto didattico veramente valido, e che merita di essere sfruttato (soprattutto per quei corsi, come chimica o geometria, che sembrano essere ricettacoli di "docenti indecenti").E così concludo la mia panoramica. Se hai altre domande, chiedi pure
[/ot]
[ot]
sì, mi ha parlato di questo aspetto, a lui interessa ingegneria aerospaziale: è molto gettonata?[/ot]
"wrugg25":
L'unica questione è che potrebbe essere assegnato ad un CDL diverso da quello di sua preferenza (ma tanto, a fare il cambio a fine anno ci vuole poco). In tal senso, è essenziale che lui, all'atto della registrazione sul sito, indichi più CDL preferiti, così da poter essere indirizzato, qualora la sua prima scelta non fosse disponibile, in uno degli altri selezionati.
sì, mi ha parlato di questo aspetto, a lui interessa ingegneria aerospaziale: è molto gettonata?[/ot]
[ot]Onestamente, non so rispondere alla tua domanda... so solo che, secondo i pareri degli studenti, è uno dei CDL più difficili del PoliTo.
Il massimo che posso fare è indicarti questa pagina, che contiene tutte le statistiche legate al corso: https://didattica.polito.it/pls/portal3 ... 015&tab=C1[/ot]
Il massimo che posso fare è indicarti questa pagina, che contiene tutte le statistiche legate al corso: https://didattica.polito.it/pls/portal3 ... 015&tab=C1[/ot]
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