Significato della trasformata di Fourier
Ho qualche problema a capire il "vero" significato della trasformata di Fourier (sempre che ne esista uno).
Il concetto di trasformata, ci è stato introdotto dopo aver studiato la serie di Fourier. In questo caso, non ho particolari problemi, la serie è definita su un supporto limitato $(-T/2 , T/2)$, nel quale la funzione può essere scritta come somma di infinite (ma numerabili) sinusoidi di ampiezza finita. Da qui, alle funzioni periodiche, il passaggio è assolutamente indolore.
Inizio ad avere i primi dubbi, quando si inizia a parlare di spettro di frequenza continuo. Non riesco a capire come sia possibile che la somma delle stesse sinusoidi con frequenza, ampiezza (infinitesima) e fase fisse su tutto l'asse reale, non diano come risultato una funzione periodica.
Mi piacerebbe capire più a fondo questo concetto, perchè mi è chiaro che questo "cambio" di prospettiva sia dovuto al passaggio dall'insieme dei numeri naturali a quello dei numeri reali, ne intuisco la profondità, ma non riesco a coglierne completamente il significato. Dal punto di vista dei passaggi matematici mi è tutto abbastanza chiaro, quello che vorrei è uno spunto per capire qualcosa in più dal punto di vista pratico.
Il concetto di trasformata, ci è stato introdotto dopo aver studiato la serie di Fourier. In questo caso, non ho particolari problemi, la serie è definita su un supporto limitato $(-T/2 , T/2)$, nel quale la funzione può essere scritta come somma di infinite (ma numerabili) sinusoidi di ampiezza finita. Da qui, alle funzioni periodiche, il passaggio è assolutamente indolore.
Inizio ad avere i primi dubbi, quando si inizia a parlare di spettro di frequenza continuo. Non riesco a capire come sia possibile che la somma delle stesse sinusoidi con frequenza, ampiezza (infinitesima) e fase fisse su tutto l'asse reale, non diano come risultato una funzione periodica.
Mi piacerebbe capire più a fondo questo concetto, perchè mi è chiaro che questo "cambio" di prospettiva sia dovuto al passaggio dall'insieme dei numeri naturali a quello dei numeri reali, ne intuisco la profondità, ma non riesco a coglierne completamente il significato. Dal punto di vista dei passaggi matematici mi è tutto abbastanza chiaro, quello che vorrei è uno spunto per capire qualcosa in più dal punto di vista pratico.
Risposte
Ti dò un'idea visiva.
Scegli una sinusoide di qualsiasi periodo tu voglia \(\displaystyle T_1 \).
Ora scegline una con periodo minore \(\displaystyle T_2 \).
Entrambe partono da \(\displaystyle x=0 \) con la stessa fase.
Poiché la frequenza della seconda è maggiore della prima, ma entrambe periodiche, troverai una periodicità totale della loro sovrapposizione pari al mcm dei periodi.
Più stringi \(\displaystyle T_1 \) e \(\displaystyle T_2 \) più la periodicità totale schizza innalzandosi.
Quando i periodi (ovvero le frequenze) sono un continuo, li hai praticamente tutti sovrapposti, la periodicità totale è infinita, il che significa averla persa.
Scegli una sinusoide di qualsiasi periodo tu voglia \(\displaystyle T_1 \).
Ora scegline una con periodo minore \(\displaystyle T_2 \).
Entrambe partono da \(\displaystyle x=0 \) con la stessa fase.
Poiché la frequenza della seconda è maggiore della prima, ma entrambe periodiche, troverai una periodicità totale della loro sovrapposizione pari al mcm dei periodi.
Più stringi \(\displaystyle T_1 \) e \(\displaystyle T_2 \) più la periodicità totale schizza innalzandosi.
Quando i periodi (ovvero le frequenze) sono un continuo, li hai praticamente tutti sovrapposti, la periodicità totale è infinita, il che significa averla persa.
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