Significati GEOMETRICI della divergenza e del rotore
Ciao a tutti
Recentemente stavo riflettendo su quali fossero i significati geometrici e provando a fare un ragionamento puramente matematico mi sono ritrovato completamente disarmato.
Molti libri parlano dell' "immediata applicazione fisica" di tali operatori parlando quasi soli di campi elettrici o gravitazionali senza però giustificare niente dal punto di vista matematico.
Come faccio a capire quali sono i veri significati geometrici del rotore e della divergenza leggendoli direttamente dalla definizione intrinseca di tali operatori e senza dovermi necessariamente ricollegare a concetti fisici?
Che so ad esempio leggendo da wikipedia [e da altri libri] ho praticamente imparato a memoria che "la divergenza è un operatore che misura la tendenza di un campo vettoriale a divergere o a convergere verso un punto del campo". Ma dal punto di vista matematico e geometrico non ho la più pallida idea di cosa possa significare che un campo vettoriale diverga o converga. Le uniche convergenzse o divergenze che """conosco""" sono quelle delle serie di funzioni ma non so quanto possano centrare. Quella definizione imparata a memoria mi è assolutamente inutile anche se purtroppo è l'unica reperibile nei libri.
E un discorso analogo potrei farlo per il rotore.
Potreste gentilmente aiutarmi dandomi qualche delucidazione? Ve ne sarei eternamente grato.
Recentemente stavo riflettendo su quali fossero i significati geometrici e provando a fare un ragionamento puramente matematico mi sono ritrovato completamente disarmato.
Molti libri parlano dell' "immediata applicazione fisica" di tali operatori parlando quasi soli di campi elettrici o gravitazionali senza però giustificare niente dal punto di vista matematico.
Come faccio a capire quali sono i veri significati geometrici del rotore e della divergenza leggendoli direttamente dalla definizione intrinseca di tali operatori e senza dovermi necessariamente ricollegare a concetti fisici?
Che so ad esempio leggendo da wikipedia [e da altri libri] ho praticamente imparato a memoria che "la divergenza è un operatore che misura la tendenza di un campo vettoriale a divergere o a convergere verso un punto del campo". Ma dal punto di vista matematico e geometrico non ho la più pallida idea di cosa possa significare che un campo vettoriale diverga o converga. Le uniche convergenzse o divergenze che """conosco""" sono quelle delle serie di funzioni ma non so quanto possano centrare. Quella definizione imparata a memoria mi è assolutamente inutile anche se purtroppo è l'unica reperibile nei libri.
E un discorso analogo potrei farlo per il rotore.
Potreste gentilmente aiutarmi dandomi qualche delucidazione? Ve ne sarei eternamente grato.
Risposte
"dissonance":Beh non proprio. Quello che io ho detto non si spinge alle tue conclusioni così estreme. Purtroppo non conosco affatto questi argomenti quindi non saprei se appoggiare o meno la tua opinione. Magari se potessi fornire qualche fonte su quel "l'opinione di quasi tutti gli scienziati", potrei visionarla e poi esprimermi.[/quote]
[quote="Sidereus"]Per quanto incredibile, è l'opinione di quasi tutti gli scienziati. La matematica moderna è interessata principalmente a questioni di linguaggio formale e di rigore logico. La semantica dei simboli (esterna al linguaggio stesso) non è rilevante. Anche dissonance ha espresso un parere analogo
Il mio punto di vista non è originale. Lo spiega molto bene Luca Lussardi a questo indirizzo:
http://www.vialattea.net/esperti/php/ri ... ?num=13040
Una lettura molto interessante per sapere come vedono la matematica gli scienziati (non matematici):
Morris Kline, Matematica: la perdita della certezza, Milano, Mondadori, 1985
Chiedo venia per averti citato a sproposito
"alle.fabbri":
[quote="Sidereus"][quote="alle.fabbri"]...Supponiamo di avere un campo $vec F$ e applichiamo il teorema della divergenza ad un volumetto infinitesimo $V$ attorno al punto $vec x_0$...
Di quanti $cm^3$ è la misura di un volume infinitesimo?
[/quote]Non capisco se sia una domanda retorica o proprio una domanda...[/quote]
E' proprio una domanda
Visto che in questa discussione stiamo parlando di campi vettoriali, propondo una domanda forse diversa o insolita e spero banale [così potrete rispondermi bene]:
è possibile studiare i campi vettoriali e rappresentarli con metodi simili a quelli che si usano abitualmente per eseguire gli studi di funzione?
è possibile studiare i campi vettoriali e rappresentarli con metodi simili a quelli che si usano abitualmente per eseguire gli studi di funzione?
Bè forse prima di sapere quanti $cm^3$ ci vogliono per fare un volumetto infinitesimo dovremmo prima definire che cos'è un centimetro.....definire dal punto di vista matematico intendo.....
"alle.fabbri":
Bè forse prima di sapere quanti $cm^3$ ci vogliono per fare un volumetto infinitesimo dovremmo prima definire che cos'è un centimetro.....definire dal punto di vista matematico intendo.....
"Si accede al rigore assoluto solo eliminando il significato. Ma se si deve scegliere tra rigore e significato, scelgo quest'ultimo senza esitare" (René Thom)
Qualcuno riesce a dirmi qualcosina in più su rotore e divergenza?
"magliocurioso":Il problema è lo stesso che si diceva prima. Che cos'è il "massimo" di un campo vettoriale? Su uno spazio vettoriale diverso dalla semplice retta reale non hai in modo naturale un ordinamento, quindi neanche una nozione di massimo - per dirla in modo più brutale: come fai a dire che un vettore è "più grande" di un altro? E i famigerati "studi di funzione" hanno come obiettivo primario proprio la determinazione di massimi e minimi.
è possibile studiare i campi vettoriali e rappresentarli con metodi simili a quelli che si usano abitualmente per eseguire gli studi di funzione?
"dissonance":Il problema è lo stesso che si diceva prima. Che cos'è il "massimo" di un campo vettoriale? Su uno spazio vettoriale diverso dalla semplice retta reale non hai in modo naturale un ordinamento, quindi neanche una nozione di massimo - per dirla in modo più brutale: come fai a dire che un vettore è "più grande" di un altro? E i famigerati "studi di funzione" hanno come obiettivo primario proprio la determinazione di massimi e minimi.[/quote]
[quote="magliocurioso"]è possibile studiare i campi vettoriali e rappresentarli con metodi simili a quelli che si usano abitualmente per eseguire gli studi di funzione?
Però ad esempio è possibile determinare con opportuni metodi i massimi e i minimi delle funzioni di più variabili [anche se in $R^n$ non esiste ordinamento]. Possibile che non esista nulla del genere anche per i campi vettoriali?
"magliocurioso":Il problema è lo stesso che si diceva prima. Che cos'è il "massimo" di un campo vettoriale? Su uno spazio vettoriale diverso dalla semplice retta reale non hai in modo naturale un ordinamento, quindi neanche una nozione di massimo - per dirla in modo più brutale: come fai a dire che un vettore è "più grande" di un altro? E i famigerati "studi di funzione" hanno come obiettivo primario proprio la determinazione di massimi e minimi.[/quote]
[quote="dissonance"][quote="magliocurioso"]è possibile studiare i campi vettoriali e rappresentarli con metodi simili a quelli che si usano abitualmente per eseguire gli studi di funzione?
Però ad esempio è possibile determinare con opportuni metodi i massimi e i minimi delle funzioni di più variabili [anche se in $R^n$ non esiste ordinamento]. Possibile che non esista nulla del genere anche per i campi vettoriali?[/quote]
Ti faccio notare che le belle funzioni che tu chiami funzioni di più variabili sono funzioni da $RR^n$ a $RR$ e in $RR$ l'ordinamento esiste. Mentre i campi vettoriali sono in generale funzioni da $R^m$ a $R^n$ e quindi non esiste un ordinamento... Si può parlare di altre questioni in questi casi. Per esempio possono rientrare nei discorsi di massimi e minimi vincolati.
"vict85":
Si può parlare di altre questioni in questi casi. Per esempio possono rientrare nei discorsi di massimi e minimi vincolati.
Ecco potrebbero interesssarmi le altre cose delle quali si può parlare
Le proprietà di un campo vettoriale che possono essere studiate sono molteplici. Sicuramente molti più di quanti ne conosca io. In generale comunque hanno poco a che fare con divergenza e rotore (soprattutto se si esce dal caso n=3). Quindi a mio avviso dovresti aprire un nuovo argomento cercando di essere chiaro su che tipo di cose vuoi sapere.
"vict85":
Le proprietà di un campo vettoriale che possono essere studiate sono molteplici. Sicuramente molti più di quanti ne conosca io. In generale comunque hanno poco a che fare con divergenza e rotore (soprattutto se si esce dal caso n=3). Quindi a mio avviso dovresti aprire un nuovo argomento cercando di essere chiaro su che tipo di cose vuoi sapere.
In realtà ho aperto questa discussione dal titolo "Significati GEOMETRICI della divergenza e del rotore" proprio perché sarei curioso di sapere se e come possono essere impiegati questi due operatori differenziali per studiare un campo vettoriale. Con "studio di un campo vettoriale" sto cercando di fare un'analogia con lo "studio di funzione". Se necessario aprirò una discussione sull'argomento "studio di un campo vettoriale".
Sarei particolarmente grato a chiunque vorrà suggerirmi delle letture per poter approfondire le mie conoscenze al riguardo degli argomenti toccati in questa discussione
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo