Si può sostituire in questo integrale?
Ciao a tutti,
si consideri l'integrale
\[ \int_a^b \frac{\ln |x| + 2}{x^2 \ln^3|x|}\, {\rm d}x \]
con \( a \), \( b \) opportuni.
Quel che mi chiedo è come fare in questo caso ad applicare il teorema di integrazione per sostituzione ponendo \( t = \ln |x| \), dove la funzione dipende sia da \( \ln|x| \) che esplicitamente dalla \( x \).
È possibile farlo? Come giustificare il tutto?
Grazie in anticipo.
si consideri l'integrale
\[ \int_a^b \frac{\ln |x| + 2}{x^2 \ln^3|x|}\, {\rm d}x \]
con \( a \), \( b \) opportuni.
Quel che mi chiedo è come fare in questo caso ad applicare il teorema di integrazione per sostituzione ponendo \( t = \ln |x| \), dove la funzione dipende sia da \( \ln|x| \) che esplicitamente dalla \( x \).
È possibile farlo? Come giustificare il tutto?
Grazie in anticipo.
Risposte
Certo che si può fare; scusa ma francamente non capisco la domanda..
Voglio dire, oltre che un minimo di attenzione al differenziale quando vai a considerare il modulo, non è niente di particolare.
Voglio dire, oltre che un minimo di attenzione al differenziale quando vai a considerare il modulo, non è niente di particolare.
Il fatto è questo.
Il teorema di integrazione per sostituzione a me noto si presenta (sotto opportune ipotesi) nelle due forme seguenti:
(1)
\[ \int_a^b f(g(x))g'(x)\, {\rm d}x = \int_{g(a)}^{g(b)} f(t)\, {\rm d}t \]
(2) Se \( g \) è anche invertibile con inversa derivabile:
\[ \int_a^b f(g(x))\, {\rm d}x = \int_{g(a)}^{g(b)} f(t) \left ( g^{(-1)} \right )'(t)\, {\rm d}t \]
In nessuna di queste due forme riesco a ricondurmi se la funzione integranda, oltre a dipendere dalla \( g \), dipende anche esplicitamente dalla \( x \): capito ora il problema?
Il teorema di integrazione per sostituzione a me noto si presenta (sotto opportune ipotesi) nelle due forme seguenti:
(1)
\[ \int_a^b f(g(x))g'(x)\, {\rm d}x = \int_{g(a)}^{g(b)} f(t)\, {\rm d}t \]
(2) Se \( g \) è anche invertibile con inversa derivabile:
\[ \int_a^b f(g(x))\, {\rm d}x = \int_{g(a)}^{g(b)} f(t) \left ( g^{(-1)} \right )'(t)\, {\rm d}t \]
In nessuna di queste due forme riesco a ricondurmi se la funzione integranda, oltre a dipendere dalla \( g \), dipende anche esplicitamente dalla \( x \): capito ora il problema?
Io mi porrei un quesito differente, invece. Come sono definiti gli estremi di integrazione? Perché se sono generici e $0\in[a,b]$ allora quell'integrale è improprio e bisogna ragionarci su. Stesso dicasi se $\pm 1\in[a,b]$.
Se scrivi $x^2=e^(ln|x|^2)=e^(2ln|x|)$ ti funziona, sei nel secondo caso che hai citato.
"ciampax":
Io mi porrei un quesito differente, invece. Come sono definiti gli estremi di integrazione? Perché se sono generici e $0\in[a,b]$ allora quell'integrale è improprio e bisogna ragionarci su. Stesso dicasi se $\pm 1\in[a,b]$.
Sì, sono stato un po' vago con l'espressione "\( a \), \( b \) opportuni": tuttavia intendevo dire che \( a \) e \( b \) sono tali che l'integrale che ne esce è un tranquillo integrale di Riemann.
"gabriella127":
Se scrivi $ x^2=e^(ln|x|^2)=e^(2ln|x|) $ ti funziona, sei nel secondo caso che hai citato.
Geniale! Non ci sarei mai arrivato, confesso.
La mia domanda iniziale rimane in ogni caso aperta.
Se $a,b$ sono opportuni, questo mi fa supporre che siano concordi (entrambi positivi o entrambi negativi) e che i valori $\pm 1$ non siano in essi inclusi. Ma questo implica, ad esempio nel caso di entrambi i valori positivi, che $|x|=x$, per cui mi pare non ci siano più problemi, non credi? Per cui, come immaginavo, la domanda che avevo posto io era quella fondamentale.
Il mio problema è capire se esiste un enunciato del teorema di integrazione per sostituzione che tenga conto dell'eventualità che la funzione integranda dipenda contemporaneamente da \( g \) e da \( x \) (\( g \) svolge lo stesso ruolo che ho descritto sopra), quindi direi che no, ancora non è risolto.
Sinceramente, non vedo il problema... Basta cambiare il nome della variabile nella prima formula.
Infatti, se \(g:[a,b]\to [\alpha ,\beta]\) è invertibile, hai:
\[
\int_\alpha^\beta f(x)\ \text{d} x = \int_{g^{-1}(\alpha)}^{g^{-1}(\beta)} f(g(t))\ g^\prime (t)\ \text{d} t
\]
(nota che ho semplicemente cambiato il nome delle variabili -entrambe mute- nella tua 1 e, per non creare ambiguità, ho cambiato il nome degli estremi di integrazione).
Infatti, se \(g:[a,b]\to [\alpha ,\beta]\) è invertibile, hai:
\[
\int_\alpha^\beta f(x)\ \text{d} x = \int_{g^{-1}(\alpha)}^{g^{-1}(\beta)} f(g(t))\ g^\prime (t)\ \text{d} t
\]
(nota che ho semplicemente cambiato il nome delle variabili -entrambe mute- nella tua 1 e, per non creare ambiguità, ho cambiato il nome degli estremi di integrazione).
Perdonami, ma non ho proprio capito cosa vuoi dirmi. Potresti essere più esplicito?
"Riccardo Desimini":
[quote="gabriella127"]Se scrivi $ x^2=e^(ln|x|^2)=e^(2ln|x|) $ ti funziona, sei nel secondo caso che hai citato.
Geniale! Non ci sarei mai arrivato, confesso.
...
La mia domanda iniziale rimane in ogni caso aperta.[/quote]
Grazie! Ma non è tanto geniale... è una cosa standard.
Ti confesso però che non ho capito qual è la domanda iniziale che rimane aperta
Confronta:
con:
Ho letto la tua formula da destra a sinistra, scambiato i nomi delle variabili e gli estremi d'integrazione.
Nel primo integrale della mia formula compare solo la dipendenza da \(x\), quindi il tuo problema è risolto... O no?
"Riccardo Desimini":
Il teorema di integrazione per sostituzione a me noto si presenta (sotto opportune ipotesi) nelle due forme seguenti:
(1)
\[
\int_a^b f(g(x))g'(x)\, {\rm d}x = \int_{g(a)}^{g(b)} f(t)\, {\rm d}t
\]
con:
"gugo82":
Infatti, se \( g:[a,b]\to [\alpha ,\beta] \) è invertibile, hai:
\[ \int_\alpha^\beta f(x)\ \text{d} x = \int_{g^{-1}(\alpha)}^{g^{-1}(\beta)} f(g(t))\ g^\prime (t)\ \text{d} t \]
(nota che ho semplicemente cambiato il nome delle variabili -entrambe mute- nella tua 1 e, per non creare ambiguità, ho cambiato il nome degli estremi di integrazione).
Ho letto la tua formula da destra a sinistra, scambiato i nomi delle variabili e gli estremi d'integrazione.
Nel primo integrale della mia formula compare solo la dipendenza da \(x\), quindi il tuo problema è risolto... O no?
Proviamo a calarci nell'esercizio, così forse riusciamo a capirci meglio.
Io ho
\[ \int_a^b \frac{\ln |x| + 2}{x^2 \ln^3|x|}\, {\rm d}x = \int_a^b \frac{\ln |x| + 2}{x \ln^3|x|} \frac{1}{x} \, {\rm d}x \]
Ora, l'integranda è un prodotto del tipo
\[ f(g(x),x)g'(x) \]
dove \( g(x) = \ln|x| \). Quello che io voglio, però, è
\[ f(g(x))g'(x) \]
per applicare il teorema di integrazione per sostituzione nella forma
\[ \int_a^b f(g(x))g'(x)\, {\rm d}x = \int_{g(a)}^{g(b)} f(t)\, {\rm d}t \]
Solo che, essendoci la \( x \) di mezzo, il teorema così com'è non si applica.
Capito il problema che sto cercando di risolvere?
O forse sono io che continuo a non capire la tua risposta.
Io ho
\[ \int_a^b \frac{\ln |x| + 2}{x^2 \ln^3|x|}\, {\rm d}x = \int_a^b \frac{\ln |x| + 2}{x \ln^3|x|} \frac{1}{x} \, {\rm d}x \]
Ora, l'integranda è un prodotto del tipo
\[ f(g(x),x)g'(x) \]
dove \( g(x) = \ln|x| \). Quello che io voglio, però, è
\[ f(g(x))g'(x) \]
per applicare il teorema di integrazione per sostituzione nella forma
\[ \int_a^b f(g(x))g'(x)\, {\rm d}x = \int_{g(a)}^{g(b)} f(t)\, {\rm d}t \]
Solo che, essendoci la \( x \) di mezzo, il teorema così com'è non si applica.
Capito il problema che sto cercando di risolvere?
O forse sono io che continuo a non capire la tua risposta.
Ti fissi troppo sulla notazione (in particolare col nome della variabile di integrazione), cosicché non vedi che puoi usare la formula che riporti anche "al contrario".
Detti \(a
\int_a^b \frac{2+ \ln |x|}{x^2 \ln^3|x|}\ \text{d} x = \int_a^b \frac{2+ \ln x }{x^2 \ln^3 x}\ \text{d} x\; ;
\]
dato che la funzione \(y(x):=\ln x\) è invertibile e di classe \(C^\infty\) in \([a,b]\), possiamo fare la sostituzione \(y=\ln x\) da cui segue:
\[
x=e^y\qquad \Rightarrow \qquad \text{d} x = e^y\ \text{d} y
\]
e dunque:
\[
\int_a^b \frac{2+ \ln x }{x^2 \ln^3 x}\ \text{d} x = \int_{\ln a}^{\ln b} \frac{2+y}{y^3\ e^{2y}}\ e^y\ \text{d} y\; ,
\]
ossia:
\[
\tag{A}
\int_{e^\alpha}^{e^\beta} \frac{2+ \ln x }{x^2 \ln^3 x}\ \text{d} x = \int_{\alpha}^{\beta} \frac{2+y}{y^3\ e^y}\ \text{d} y
\]
ove per comodità \(\alpha =\ln a\) e \(\beta = \ln b\).
La (A) altro non è che la tua formula, con le varabili \(x\) al posto di \(t\) nel secondo membro ed \(y\) al posto di \(x\) nel primo membro (ma ciò non fa danno, dato che la variabile d'integrazione è muta), con:
\[
f(x) := \frac{2+ \ln x }{x^2 \ln^3 x} \qquad \text{e} \qquad g(y)=e^y\; ,
\]
e la formula è letta da destra a sinistra.
Detti \(a
\int_a^b \frac{2+ \ln |x|}{x^2 \ln^3|x|}\ \text{d} x = \int_a^b \frac{2+ \ln x }{x^2 \ln^3 x}\ \text{d} x\; ;
\]
dato che la funzione \(y(x):=\ln x\) è invertibile e di classe \(C^\infty\) in \([a,b]\), possiamo fare la sostituzione \(y=\ln x\) da cui segue:
\[
x=e^y\qquad \Rightarrow \qquad \text{d} x = e^y\ \text{d} y
\]
e dunque:
\[
\int_a^b \frac{2+ \ln x }{x^2 \ln^3 x}\ \text{d} x = \int_{\ln a}^{\ln b} \frac{2+y}{y^3\ e^{2y}}\ e^y\ \text{d} y\; ,
\]
ossia:
\[
\tag{A}
\int_{e^\alpha}^{e^\beta} \frac{2+ \ln x }{x^2 \ln^3 x}\ \text{d} x = \int_{\alpha}^{\beta} \frac{2+y}{y^3\ e^y}\ \text{d} y
\]
ove per comodità \(\alpha =\ln a\) e \(\beta = \ln b\).
La (A) altro non è che la tua formula, con le varabili \(x\) al posto di \(t\) nel secondo membro ed \(y\) al posto di \(x\) nel primo membro (ma ciò non fa danno, dato che la variabile d'integrazione è muta), con:
\[
f(x) := \frac{2+ \ln x }{x^2 \ln^3 x} \qquad \text{e} \qquad g(y)=e^y\; ,
\]
e la formula è letta da destra a sinistra.
Ora sì che ho capito! Grazie.
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