Si può applicare Wierstrass f(x,y,z)=

[miry93-thebest]

ciao ! devo risolvere questo esercizio:

Il teorema di Weierstrass si può applicare per la funzione seguente?

$f(x,y,z)=x^2+y^2-z^2$

definita su:

$H={(x,y,z): 2x-3y+z=1$

in pratica devo vedere se la funzione è continua su un compatto.
ora la funzione è continua, ma come verifico che $H$ è chiuso e limitato?

grazie !

[miry93-thebest]

E

[gugo82]

Prova che esistono punti di \(H\) mooolto distanti dall'origine.

[miry93-thebest]

e come si fa? ho pensato che visto che è aperto esiste una palla tutta contenuta, ma esiste un raggio maggiore tale che la palla di prima sia contenuta nella nuova e cosi via... ma non credo che come discorso regga

[gugo82]

"miry77":e come si fa?

Qual è la distanza del generico punto di \(H\) dall'origine?

"miry77":ho pensato che visto che è aperto esiste una palla tutta contenuta, ma esiste un raggio maggiore tale che la palla di prima sia contenuta nella nuova e cosi via... ma non credo che come discorso regga

Sinceramente, un piano aperto non l'ho mai visto.

[miry93-thebest]

"gugo82":
Qual è la distanza del generico punto di \(H\) dall'origine?

$d=sqrt(x^2+y^2+z^2)$ ? non capisco dove vuoi arrivare...

[rino6999]

dimostriamo la non limitatezza del piano facendo vedere che per qualsiasi $R$ esso non è contenuto nella sfera di centro l'origine e raggio $R$
il punto $P(R,R,1+R)$ appartiene al piano e la sua distanza dall'origine è maggiore di R

[gugo82]

"miry77":[quote="gugo82"]
Qual è la distanza del generico punto di \(H\) dall'origine?

$d=sqrt(x^2+y^2+z^2)$ ? non capisco dove vuoi arrivare...[/quote]
Non mi pare che il generico punto di \(H\) abbia coordinate \((x,y,z)\), con \(x,y,z\) variabili indipendentemente l'una dall'altra... Ad esempio, \((1,1,0)\notin H\), \((0,0,\sqrt{2})\notin H\) e \((-1,1,-\pi)\notin H\), no?

Dagli esempi segue che le tre coordinate \(x,y,z\) del generico punto di \(H\) non possono essere prese a casaccio; ma c'è una dipendenza che le lega: quale?