Si consideri la seguente $f(x,y)$, trova eq piano tangente
$f(x,y) = 1 + 4x^2 + 3y^2 - 2(y - 1)x^3 - 6y$
La posso anzitutto riscrivere così $f(x,y) = 1 + 4x^2 + 3y^2 -2x^3y + 2x^3 - 6y$
a) trova l'equazione del piano tangente in $(1,-1)$
b) trova i punti critici di $f$
$f_x = 14x - 6x^2y $
$f_y = 6y - 2x^3 - 6$
$z = 18 + 20 (x - 1) - 14 (y + 1) =$
$= 20x - 14y - 16$
Per i punti critici devo risolvere:
$\{(14x - 6x^2y = 0),(6y - 2x^3 - 6 = 0):}$ ma come faccio a trovare la $x$ o la $y$ verrebbe un'equazione di quinto grado!!
Poi una volta trovato il punto calcolo le derivate seconde e l'hessiano nel punto...Grazie
La posso anzitutto riscrivere così $f(x,y) = 1 + 4x^2 + 3y^2 -2x^3y + 2x^3 - 6y$
a) trova l'equazione del piano tangente in $(1,-1)$
b) trova i punti critici di $f$
$f_x = 14x - 6x^2y $
$f_y = 6y - 2x^3 - 6$
$z = 18 + 20 (x - 1) - 14 (y + 1) =$
$= 20x - 14y - 16$
Per i punti critici devo risolvere:
$\{(14x - 6x^2y = 0),(6y - 2x^3 - 6 = 0):}$ ma come faccio a trovare la $x$ o la $y$ verrebbe un'equazione di quinto grado!!
Poi una volta trovato il punto calcolo le derivate seconde e l'hessiano nel punto...Grazie
Risposte
[xdom="gugo82"]Un titolo più esplicativo, grazie.[/xdom]
$\{(14x - 6x^2(x^3/3 + 1) = 0),(y = x^3 / 3 + 1 ):}$
come faccio a trovare i punti critici?
come faccio a trovare i punti critici?
Non mi trovo con le derivate parziali O.o
Facendo un pò di conti mi trovo così: ${(f_x=8x-6x^2y+6x^2=0),(f_y=6y-2x^3=0):}$
Facendo un pò di conti mi trovo così: ${(f_x=8x-6x^2y+6x^2=0),(f_y=6y-2x^3=0):}$
"Lorin":
Non mi trovo con le derivate parziali O.o
Facendo un pò di conti mi trovo così: ${(f_x=8x-6x^2y+6x^2=0),(f_y=6y-2x^3=0):}$
La $f_x$ ho capito perchè l'ho sbagliata, non avevo scritto $6x^2$ bensì $6x$ però per quanto riguarda la $f_y$ perchè tu non hai il termine noto $-6$ che dovrebbe venire da $-6y$?
comunque sia verrebbe sempre di grado quinto no? non riesco a capire come fare!
Perchè evidentemente hai modificato il post il 14 febbraio alle 00:03, cioè dopo che avevo inserito la mia risposta 
Comunque nella prima equazione prova a mettere in evidenza una x e vedi un pò cosa succede...
Comunque nella prima equazione prova a mettere in evidenza una x e vedi un pò cosa succede...
"Lorin":
Perchè evidentemente hai modificato il post il 14 febbraio alle 00:03, cioè dopo che avevo inserito la mia risposta
Comunque nella prima equazione prova a mettere in evidenza una x e vedi un pò cosa succede...
ahahah si infatti...comunque:
$\{(x(8 - 6xy + 6x) = 0),(6y - 2x^3 - 6 = 0):}$ c'è quel termine $xy$ fastidioso...allora i punti critici saranno due?
$P_1 = (0;1 )?$
Manipolazione algebrica, questa sconosciuta... 
Dalla prima ricavi \(x=0\) oppure \(3(y-1)x=4\).
Per \(x=0\), sostituendo nella seconda trovi \(y=1\); d'altra parte se \(y=1\) allora necessariamente \(x=0\) e ciò vuol dire che non c'è nessun altro punto critico avente ordinata \(=1\).
Allora, visto che puoi supporre \(y\neq 1\), da \(3(y-1)x=4\) ricavi \(x=\frac{4}{3(y-1)}\); sostituendo nella seconda trovi \(3y-\frac{4^3}{3^3 (y-1)^3}-3=0\) da cui, prendendo il denominatore comune e liberando dal denominatore, segue:
\[
3^4 (y-1)^4-4^3=0
\]
che si risolve elementermente rispetto a \(y\); sostituendo i valori trovati in \(x=\frac{4}{3(y-1)}\) si determinano le ascisse dei rimanenti punti critici.
Dalla prima ricavi \(x=0\) oppure \(3(y-1)x=4\).
Per \(x=0\), sostituendo nella seconda trovi \(y=1\); d'altra parte se \(y=1\) allora necessariamente \(x=0\) e ciò vuol dire che non c'è nessun altro punto critico avente ordinata \(=1\).
Allora, visto che puoi supporre \(y\neq 1\), da \(3(y-1)x=4\) ricavi \(x=\frac{4}{3(y-1)}\); sostituendo nella seconda trovi \(3y-\frac{4^3}{3^3 (y-1)^3}-3=0\) da cui, prendendo il denominatore comune e liberando dal denominatore, segue:
\[
3^4 (y-1)^4-4^3=0
\]
che si risolve elementermente rispetto a \(y\); sostituendo i valori trovati in \(x=\frac{4}{3(y-1)}\) si determinano le ascisse dei rimanenti punti critici.
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