Si consideri la seguente curva....

[Knuckles1]

$gamma(t)=(cos^3t, sen^3t)$

essendo $0<=t<=pi$

a) Stabilire se la curva è chiusa e regolare:

ho fatto: gamma(0)= (1,0)
gamma(pi)= (-1,0) sono diversi quindi non è chiusa.

gamma è di classe $C^1$ calcolo $gamma'(t)= 3sqrt(cos^4tsin^2t+sin^4tcos^2t)$ che è maggiore di zero ---> è regolare.

giusto?

b) scrivere un eq cartesiana per la traccia della curva.
come si fa?
c) calcolare la lunghezz della traccia della curva.
come si fa?

[gianni802]

per quanto riguarda b) potresti fare così:
$ x = cos^3(t) ; y=sin^3(t)$

$ x^(2/3) = cos^2(t) ; y^(2/3) = sin^2(t)$

sommando le due equazioni si ha:

$x^(2/3) + y^(2/3) = 1$

[Knuckles1]

non credo sia giusto.... perchè le sommi? altre idee?

[Knuckles1]

ho trovato che la curva è un astroide.... ma come trovo l'eq cartesiana? perchè sommi e non moltiplichi? e una cosa, la curva è regolare a tratti.... ma come lo vedo?

[gianni802]

sommo perchè così [cos(t)]^2+[sin(t)]^2 =1 in modo da eliminare il parametro t

[Knuckles1]

ok... e una cosa, quando faccio la derivata prima di gamma viene che è maggiore di zero per t diverso da zero, pi/2 e pi, ciò vuol dire che in tutti gli altri punti è derivabile? e che quindi è regolare a tratti?

[gianni802]

le funzioni cos(t) e sin(t) sono derivabili in ogni punto e quindi anche cos(t)^3 e sin(t)^3

[Knuckles1]

si ma nei punti 1,0 0,1 -1,0 ho delle cuspidi.... li la derivata non dovrebbe esistere...

[gianni802]

è regolare a tratti negli intervalli $[0,pi/2]$ e $[pi/2,pi]$ in quanto in questi intervalli la derivata prima non si annulla nei punti interni,
ma nell'intervallo da 0 a pi si annulla in pi/2.