Si consideri la funzione
Salve vorrei vedere la risoluzione di questo esercizio, con le motivazioni che potrei scrivere:
Si consideri la funzione $g(x)=|x-2|e^-x$
1)Determinare l'insieme di definizione di g. Determinare l'insieme dei punti dove g risulta continua e derivabile, motivando la risposta.
2)Determinare punti di massimo o minimo locale di g, motivando la risposta.
Grazie.
Si consideri la funzione $g(x)=|x-2|e^-x$
1)Determinare l'insieme di definizione di g. Determinare l'insieme dei punti dove g risulta continua e derivabile, motivando la risposta.
2)Determinare punti di massimo o minimo locale di g, motivando la risposta.
Grazie.
Risposte
Inizia a farci vedere come proveresti a risolverlo tu, e poi riceverai una risposta. (Questo è il regolamento del forum).
"Bossmer":
Inizia a farci vedere come proveresti a risolverlo tu, e poi riceverai una risposta. (Questo è il regolamento del forum).
ah senz'altro...non volevo abusare, cmq io lo risolverei così, ma sono molto dubbioso, e non saprei se le motivazioni andrebbero bene.
L'insieme di definizione $Xg=RR$ poi risolvo il valore assoluto
$|x-2|={(x-2, x>=0),(-x+2, x<0):}$ = ${(x>=2),(x>2):}$
$g'(x)=e^-x-e^-x(x-2)$
Se g è derivabile in $Xo$ allora $g$ è continua, non vale il contrario.
calcolo il limite del rapporto incrementale in $Xo=2$
$lim_(h->0^-)(f(X0+h)-f(X0))/h$=$lim_(h->0^-)(f(2+h)-f(2))/h$=$1/e^x$
$lim_(h->0^+)(f(X0+h)-f(X0))/h$=$lim_(h->0^+)(f(2+h)-f(2))/h$=$1/e^x$
La funzione è continua e derivabile. Per trovare i punti di massimo e minimo locale, pongo $g'(x)>0$ quindi $e^-x(-x+3)>0$ dove $1/e^x>0$ e $x<3$ facendo il grafico dei segni ottengo che $m(1/e^x,f(1/e^x))$ e $M(3,f(3))$ rispettivamente punti di minimo e massimo locale.
No direi che non ci siamo su un po' di cose...
Prima di tutto cosa significa "risolvo il valore assoluto" ??
In secondo luogo, dopo aver "risolto il valore assoluto" te ne sei fregato e hai fatto come se non esistesse, perché?
La derivata è sbagliata. Infatti proprio a causa del valore assoluto hai che
$$
g(x)=|x-2|e^{-x}=\begin{cases} (x-2)e^{-x} \, &\text{ if } \, x\geq 2 \\ (2-x)e^{-x} \, &\text{ if } \, x< 2\end{cases}
$$
Quindi la derivata è
$$
g'(x)=\begin{cases} e^{-x}-(x-2)e^{-x} \, &\text{ if } \, x\geq 2 \\ -e^{-x}+(x-2)e^{-x} \, &\text{ if } \, x< 2\end{cases}
$$
che si può scrivere equivalentemente in queste altre due forme:
$$
g'(x)=\frac{x-2}{|x-2|}\left(e^{-x}-(x-2)e^{-x}\right)=\text{sign}(x-2)\left(e^{-x}-(x-2)e^{-x}\right)
$$
Ora la derivata è chiaramente discontinua in $x=2$ quindi non serve fare il limite per notare che $g$ non è derivabile in $x=2$ però nel dubbio puoi comunque fare i limiti destri e sinistri e notare che non è derivabile; a proposito anche i limiti sono sbagliati perché a "destra" di $2$ il valore assoluto restituisce $(x-2)$ mentre per il limite sinistro restituisce $(2-x)$ infatti il secondo limite che hai fatto è corretto mentre il primo è errato.
Non abbiamo finito, anche se avessi trovato $g'$ corretta la tua tecnica per trovare massimi e minimi non è corretta, se una funzione reale non è definita su un insieme chiuso e limitato (compatto in $R$) allora non è mica detto che debba avere per forza massimo e minimo assoluto quindi non è detto tanto meno che li debba avere relativi.
Sembra che tu voglia trovare massimi e minimi ad ogni costo senza riflettere. I massimi e i minimi sono dei PUNTI tipo $(5,g(5))$, ora mi spieghi che numero sarebbe $ m(1/e^x,f(1/e^x)) $ ?!?!?
Ora il modo di procedere sarebbe stato studiare $g'(x)>0$ prima per $x>2$ e poi per $x<2$ .
Scoprendo che la funzione ha un massimo per $x=3$ e minimo per $x=2$.
In ogni caso ti mancano anche da studiare i limiti agli estremi e la convessità.
Inoltre anche se non centra più con l'esercizio tu scrivi:
Ma che grafico dei segni hai fatto? $e^{-x}$ è maggiore di zero per ogni $x$ quindi cosa hai scritto nel grafico dei segni?!
Spero di esserti stato utile a presto
Prima di tutto cosa significa "risolvo il valore assoluto" ??
In secondo luogo, dopo aver "risolto il valore assoluto" te ne sei fregato e hai fatto come se non esistesse, perché?
La derivata è sbagliata. Infatti proprio a causa del valore assoluto hai che
$$
g(x)=|x-2|e^{-x}=\begin{cases} (x-2)e^{-x} \, &\text{ if } \, x\geq 2 \\ (2-x)e^{-x} \, &\text{ if } \, x< 2\end{cases}
$$
Quindi la derivata è
$$
g'(x)=\begin{cases} e^{-x}-(x-2)e^{-x} \, &\text{ if } \, x\geq 2 \\ -e^{-x}+(x-2)e^{-x} \, &\text{ if } \, x< 2\end{cases}
$$
che si può scrivere equivalentemente in queste altre due forme:
$$
g'(x)=\frac{x-2}{|x-2|}\left(e^{-x}-(x-2)e^{-x}\right)=\text{sign}(x-2)\left(e^{-x}-(x-2)e^{-x}\right)
$$
Ora la derivata è chiaramente discontinua in $x=2$ quindi non serve fare il limite per notare che $g$ non è derivabile in $x=2$ però nel dubbio puoi comunque fare i limiti destri e sinistri e notare che non è derivabile; a proposito anche i limiti sono sbagliati perché a "destra" di $2$ il valore assoluto restituisce $(x-2)$ mentre per il limite sinistro restituisce $(2-x)$ infatti il secondo limite che hai fatto è corretto mentre il primo è errato.
Non abbiamo finito, anche se avessi trovato $g'$ corretta la tua tecnica per trovare massimi e minimi non è corretta, se una funzione reale non è definita su un insieme chiuso e limitato (compatto in $R$) allora non è mica detto che debba avere per forza massimo e minimo assoluto quindi non è detto tanto meno che li debba avere relativi.
Sembra che tu voglia trovare massimi e minimi ad ogni costo senza riflettere. I massimi e i minimi sono dei PUNTI tipo $(5,g(5))$, ora mi spieghi che numero sarebbe $ m(1/e^x,f(1/e^x)) $ ?!?!?
Ora il modo di procedere sarebbe stato studiare $g'(x)>0$ prima per $x>2$ e poi per $x<2$ .
Scoprendo che la funzione ha un massimo per $x=3$ e minimo per $x=2$.
In ogni caso ti mancano anche da studiare i limiti agli estremi e la convessità.
Inoltre anche se non centra più con l'esercizio tu scrivi:
"vito.x.file":
Per trovare i punti di massimo e minimo locale, pongo $ g'(x)>0 $ quindi $ e^-x(-x+3)>0 $ dove $ 1/e^x>0 $ e $ x<3 $ facendo il grafico dei segni ottengo che $ m(1/e^x,f(1/e^x)) $ e $ M(3,f(3)) $ rispettivamente punti di minimo e massimo locale.
Ma che grafico dei segni hai fatto? $e^{-x}$ è maggiore di zero per ogni $x$ quindi cosa hai scritto nel grafico dei segni?!
Spero di esserti stato utile a presto
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