Si comincia a fare sul serio :-)

[Sk_Anonymous]

determinare $alpha in RR$ per i quali il seguente integrale improprio converge

$int_(-oo)^(+oo)(x+e)e^(|x|(alpha-e))dx=int_(-oo)^0(x+e)e^(-x(alpha-e))dx+int_0^(+oo)(x+e)e^(x(alpha-e))dx

per $x->-oo$, $f(x)=(x+e)e^(-x(alpha-e))->{(-oo, alpha-e>=0),(0, alpha-e<0):}

cosa devo fare adesso?

[gugo82]

"NOKKIAN80":determinare $alpha in RR$ per i quali il seguente integrale improprio converge

$int_(-oo)^(+oo)(x+e)e^(|x|(alpha-e))dx=int_(-oo)^0(x+e)e^(-x(alpha-e))dx+int_0^(+oo)(x+e)e^(x(alpha-e))dx

per $x->-oo$, $f(x)=(x+e)e^(-x(alpha-e))->{(-oo, alpha-e>=0),(0, alpha-e<0):}

cosa devo fare adesso?

Innanzitutto non ti puoi arrogare il diritto di fissare una vola per tutte il punto $0$ per spezzare l'intergale senza giustificare questa scelta: infatti, anche se fa comodo per il valore assoluto, devi tener presente che l'integrale improprio $\int_(-oo)^(+oo) f(x)" d"x$ esiste se $AA y in RR$ almeno uno tra $\int_(-oo)^yf(x)" d"x$ ed $\int_y^(+oo)f(x)" d"x$ esiste finito oppure se entrambi gli integrali divergono dalla stessa parte rispetto a $0$ (questa è una condizione sufficiente, ma non credo sia pure necessaria).
Fissato $y in RR$, l'integrando è continuo in $[min{0,y},max{0,y}]$ quindi $\int_0^y f(x)" d"x$ esiste certamente finito: ne consegue che se esiste finito uno tra $\int_(-oo)^0 f(x)" d"x$ ed $\int_0^(+oo)f(x)" d"x$ allora, per la proprietà additiva dell'integrale, esistono finito pure uno tra $\int_(-oo)^yf(x)" d"x$ ed $\int_y^(+oo)f(x)" d"x$ per ogni scelta di $y in RR$; analogo discorso se entrambi gli integrali divergono dalla stessa parte rispetto a $0$.
Ciò giustifica il tuo modo di procedere nel calcolo.

Vista la relazione di limite da te trovata e ricordato che l'esponenziale è un infinitesimo [risp. infinito] d'ordine infinitamente elevato in $-oo$ [risp. $+oo$], puoi affermare che l'integrale $\int_(-oo)^0f(x)" d"x$ esiste certamente finito per $alpha Ovviamente puoi risolvere allo stesso modo l'integrale improprio $\int_0^(+oo)f(x)" d"x$: troverai che esso esiste finito per $alpha
Da quanto detto sopra, l'integrale improprio $\int_(-oo)^(+oo)f(x)" d"x$ esiste certamente ed è finito per $alpha , mentre non possiamo dire nulla nel caso $alpha ge e$: infatti in quest'ultimo caso la somma $\int_(-oo)^0f(x)" d"x + \int_0^(+oo)f(x)" d"x$ (e quindi anche ogni somma del tipo $\int_(-oo)^y+\int_y^(+oo)$) si presenta nella forma indeterminata $-oo+oo$.

[Sk_Anonymous]

grazie mille!!

devo dire è utilissimo anche il post di camillo a proposito delle funzioni integrali:
https://www.matematicamente.it/forum/stu ... 25340.html