Shift e rescaling nelle trasformate di fourier
Salve a tutti, esercitandomi con le trasformate mi è venuto il seguente dubbio: Se ho un segnale che presenta sia uno shift sia un rescaling, quando nella trasformata aggiungo l'esponenziale per lo shift, è influenzato dal cambiamento di scala?
mi spiego meglio con un rapido esempio:
Devo trasformare il seguente segnale: $ H(-t-3)*e^(5t) $ (dove H è il segnale di Heaviside, o scalino)
Noto che il segnale presenta sia un rescaling di -1, sia uno shift di +3, procedo quindi facendolo comparire nell'esponenziale e mettendo in evidenza il tutto:
$ H(-t-3)*e^(5t)*(e^15)/e^15 $ = $ H(-1(t+3))*e^(5(t+3))*(1)/e^15 $
Ora procedo come mi è stato insegnato a lezione: "tolgo" le varie proprietà una alla volta fino a ricondurmi a un segnale notevole, a cui una volta trasformato riaggiungo le proprietà tolte in precedenza.
Quindi, prima elimino lo shift (shift di +3), ottenendo: $ H(-t)*e^(5t)*(1)/e^15 $
Ora elimino il rescaling (rescaling di -1): $ H(t)*e^(-5t)*(1)/e^15 $
Il nuovo segnale cosi ottenuto so trasformarlo facilmente, e ottengo: $ (e^-15)/(5+2pifi) $
Ora procedo riaggiungendo le proprietà tolte in precedenza, iniziando con lo shift: $ (e^-15)(e^(6pifi) )/(5+2pifi) $
(dove $ e^(6pifi) $ è ottenuto da $ e^(-2pifi*(-3)) $, in quanto lo shift è positivo )
..e infine il rescaling: $ (e^-15)(e^(-6pifi) )/(5-2pifi) $
Questo dovrebbe essere il risultato finale, ma non corrisponde a quello invece del professore: $ (e^-15)(e^(6pifi) )/(5-2pifi) $
La differenza è solo del segno - all'esponente dello shift, come se avesse considerato lo shift di -3, invece che di +3 (totalmente da escludere, in quanto il lavoro fatto sul segnale prima di iniziare a trasformarlo è uguale al mio). L'unica possibilità, che potrebbe essere confermata guardando altri esercizi svolti in classe, è che dopo aver trasformato il segnale notevole, debba riaggiungere prima il rescaling, quindi in questo caso cambiare il segno della f al denominatore della trasformata, e poi aggiungere lo shift, senza però cambiare il segno all'esponenziale di quest'ultimo. Quindi ecco, è giusto cosi? lo shift non è influenzato dal cambiamento di scala?
Spero di essermi espresso abbastanza chiaramente, e ringrazio in anticipo per le risposte
mi spiego meglio con un rapido esempio:
Devo trasformare il seguente segnale: $ H(-t-3)*e^(5t) $ (dove H è il segnale di Heaviside, o scalino)
Noto che il segnale presenta sia un rescaling di -1, sia uno shift di +3, procedo quindi facendolo comparire nell'esponenziale e mettendo in evidenza il tutto:
$ H(-t-3)*e^(5t)*(e^15)/e^15 $ = $ H(-1(t+3))*e^(5(t+3))*(1)/e^15 $
Ora procedo come mi è stato insegnato a lezione: "tolgo" le varie proprietà una alla volta fino a ricondurmi a un segnale notevole, a cui una volta trasformato riaggiungo le proprietà tolte in precedenza.
Quindi, prima elimino lo shift (shift di +3), ottenendo: $ H(-t)*e^(5t)*(1)/e^15 $
Ora elimino il rescaling (rescaling di -1): $ H(t)*e^(-5t)*(1)/e^15 $
Il nuovo segnale cosi ottenuto so trasformarlo facilmente, e ottengo: $ (e^-15)/(5+2pifi) $
Ora procedo riaggiungendo le proprietà tolte in precedenza, iniziando con lo shift: $ (e^-15)(e^(6pifi) )/(5+2pifi) $
(dove $ e^(6pifi) $ è ottenuto da $ e^(-2pifi*(-3)) $, in quanto lo shift è positivo )
..e infine il rescaling: $ (e^-15)(e^(-6pifi) )/(5-2pifi) $
Questo dovrebbe essere il risultato finale, ma non corrisponde a quello invece del professore: $ (e^-15)(e^(6pifi) )/(5-2pifi) $
La differenza è solo del segno - all'esponente dello shift, come se avesse considerato lo shift di -3, invece che di +3 (totalmente da escludere, in quanto il lavoro fatto sul segnale prima di iniziare a trasformarlo è uguale al mio). L'unica possibilità, che potrebbe essere confermata guardando altri esercizi svolti in classe, è che dopo aver trasformato il segnale notevole, debba riaggiungere prima il rescaling, quindi in questo caso cambiare il segno della f al denominatore della trasformata, e poi aggiungere lo shift, senza però cambiare il segno all'esponenziale di quest'ultimo. Quindi ecco, è giusto cosi? lo shift non è influenzato dal cambiamento di scala?
Spero di essermi espresso abbastanza chiaramente, e ringrazio in anticipo per le risposte
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