Sfida: disuguaglianza tra sommatorie

[Raptorista1]

Buon giorno a tutti!
Ho appena letto questo problema sul numero di marzo dei Rudi Mathematici e mi è piaciuto così tanto che ve lo ripropongo.

Dimostrare che, indipendentemente dalla scelta dei numeri [tex]a_1,a_2,\dots,a_n,b_1,b_2,\dots,b_n[/tex] è sempre valida le seguente relazione:

[tex]\displaystyle \sum_{i=1}^n \sqrt{a_i^2+b_i^2} \ge \sqrt{\left(\sum_{i=1}^n a_i\right)^2 + \left(\sum_{i=1}^n b_i\right)^2}[/tex]

Metto l'hint definitivo in spoiler

Interpretate geometricamente le quantità in gioco!

Buon divertimento!

[Rigel1]

Definiamo i punti $P_0 = (x_0, y_0) = (0,0)$, $P_i = (x_i, y_i) = (x_{i-1}+a_i, y_{i-1}+b_i)$, $i=1, \ldots, n$.
Il primo membro rappresenta la distanza fra $P_0$ e $P_n$, mentre il secondo è la lunghezza della poligonale $P_0, P_1, \ldots, P_n$.

[Raptorista1]

Punto per Rigel
Con o senza hint?

[Rigel1]

Beh, l'hint l'ho letto dopo (per vedere se mi ero perso qualcosa), ma mi sembra dica una cosa abbastanza ovvia, o no?
Quando ci sono quantità interpretabili come lunghezze, si parte sempre da un disegnino...

Si può fare una dimostrazione relativamente rapida anche per induzione.
Per $n=1$ la disuguaglianza è un'uguaglianza.
Per il passo induttivo, posto $A_n = \sum_{i=1}^n a_i$, $B_n = \sum_{i=1}^n b_i$, abbiamo che
[tex]A^2_{n+1} + B^2_{n+1} = (A_n+a_{n+1})^2 + (B_n + b_{n+1})^2[/tex]
[tex]= A^2_n+B^2_n + 2 (a_{n+1}A_n + b_{n+1}B_n) + (a^2_{n+1}+b^2_{n+1})[/tex]
[tex]\le A^2_n+B^2_n + 2 \sqrt{a^2_{n+1}+b^2_{n+1}} \sqrt{A^2_n+B^2_n}+ (a^2_{n+1}+b^2_{n+1})[/tex]
[tex]= (\sqrt{A^2_n+B^2_n}+\sqrt{a^2_{n+1}+b^2_{n+1}})^2 = (\sum_{i=1}^{n+1}\sqrt{a_i^2+b_i^2})^2.[/tex]