Sferodiali prolate come autofunzioni...
Ciao a tutti! In un mio post precedente (nella sezione di fisica) è saltata fuori una cosa interessante, ovvero che le onde sferoidali prolate sono le autofunzioni di un certa equazione di Fredholm; più precisamente della seguente:
$int_(-T/2)^(T/2) (sin [omega_c(t-tau)])/(pi (t-tau)) varphi(tau)"d"tau= lambda varphi(tau)$
Ho provato a risolverla, ma non ci riesco. So che c'è un articolo di Pollack (di quarant'anni fa!
) che dovrebbe spiegarlo, ma non lo trovo.
In particolare, se può essere utile, le sferoidali prolate sono anche la soluzione del seguente problema
$ \max \int_(-T)^(T) |f(t)|^2 dt $
sotto la condizione che la trasformata di Fourier di $f(t)$ abbia supporto compatto (sia nulla al di fuori di un compatto del tipo $[-\sigma,\sigma]$) e che (ad esempio)
$\int_(-\infty)^(\infty) |f(t)|^2 dt = 1$
Problema che si riconduce al cosidetto quoziente di Rayleigh (non so se dica così in italiano, cmq in inglese è Rayleigh quotient). Ovviamente sto intendendo che $f(t)$ stia in $L^2$.
Sono riuscito più o meno a dimostrare che questo problema implica quello di sopra, ma cmq non è che abbia risolto i miei guai...
Ho anche provato a ragionare in maniera diversa: se $f(t)$ ha trasformata con supporto compatto, allora è applicabile il teorema del campionamento (o di Shannon, se così lo conoscete). In questo caso vado a finire in un problema ancor più intricato, nel quale dovrei trovare gli autovalori di una matrice di dimensioni "infinite" (perdonatemi il termine), che va bene numericamente (e sarebbe cmq da vedere) ma teoricamente penso sia ancora più brutto dell'equazione di Fredholm.
Qualcuno mi dà un suggerimento per risolvere direttamente il problema con l'eqne di Fredholm?
Grazie anticipate,
bye
$int_(-T/2)^(T/2) (sin [omega_c(t-tau)])/(pi (t-tau)) varphi(tau)"d"tau= lambda varphi(tau)$
Ho provato a risolverla, ma non ci riesco. So che c'è un articolo di Pollack (di quarant'anni fa!
) che dovrebbe spiegarlo, ma non lo trovo. In particolare, se può essere utile, le sferoidali prolate sono anche la soluzione del seguente problema
$ \max \int_(-T)^(T) |f(t)|^2 dt $
sotto la condizione che la trasformata di Fourier di $f(t)$ abbia supporto compatto (sia nulla al di fuori di un compatto del tipo $[-\sigma,\sigma]$) e che (ad esempio)
$\int_(-\infty)^(\infty) |f(t)|^2 dt = 1$
Problema che si riconduce al cosidetto quoziente di Rayleigh (non so se dica così in italiano, cmq in inglese è Rayleigh quotient). Ovviamente sto intendendo che $f(t)$ stia in $L^2$.
Sono riuscito più o meno a dimostrare che questo problema implica quello di sopra, ma cmq non è che abbia risolto i miei guai...
Ho anche provato a ragionare in maniera diversa: se $f(t)$ ha trasformata con supporto compatto, allora è applicabile il teorema del campionamento (o di Shannon, se così lo conoscete). In questo caso vado a finire in un problema ancor più intricato, nel quale dovrei trovare gli autovalori di una matrice di dimensioni "infinite" (perdonatemi il termine), che va bene numericamente (e sarebbe cmq da vedere) ma teoricamente penso sia ancora più brutto dell'equazione di Fredholm.
Qualcuno mi dà un suggerimento per risolvere direttamente il problema con l'eqne di Fredholm?
Grazie anticipate,
bye
Risposte
La trasformata di Laplace non funziona? Al primo membro hai un integrale di convoluzione...
[OT]
Dal titolo l'avrei detta una super****la...
Manco a farlo a posta, il Mascetti si chiama Raffaello.
[/OT]
Dal titolo l'avrei detta una super****la...
Manco a farlo a posta, il Mascetti si chiama Raffaello.
[/OT]
"Gugo82":
[OT]
Dal titolo l'avrei detta una super****la...
Qui, nelle prime righe, spiega che le funzioni super****la sono le soluzioni del problema agli autovalori
$Q_T P_W Q_T psi_n= lambda_n psi_n$
dove $Q_T$ è un troncamento temporale e $P_W$ è un filtraggio passa-basso. Se vogliamo, l'espressione
$int_(-T/2)^(T/2) (sin[omega_c(t-tau)])/(pi (t- tau)) varphi(tau)"d"tau$
rappresenta proprio questo, infatti è un integrale di convoluzione tra $varphi$ e un seno cardinale, che nel dominio di Fourier è una finestra rettangolare (rappresenta quindi un filtro passa-basso). Il fatto che si integri solo tra $-T/2$ e $T/2$ indica che a monte c'è stata un'operazione di troncamento.
$Q_T P_W Q_T psi_n= lambda_n psi_n$
dove $Q_T$ è un troncamento temporale e $P_W$ è un filtraggio passa-basso. Se vogliamo, l'espressione
$int_(-T/2)^(T/2) (sin[omega_c(t-tau)])/(pi (t- tau)) varphi(tau)"d"tau$
rappresenta proprio questo, infatti è un integrale di convoluzione tra $varphi$ e un seno cardinale, che nel dominio di Fourier è una finestra rettangolare (rappresenta quindi un filtro passa-basso). Il fatto che si integri solo tra $-T/2$ e $T/2$ indica che a monte c'è stata un'operazione di troncamento.
Il link su wiki l'avevo già visto. Lì non spiega, asseriesce solo una cosa. Io vorrei la spiegazione, i passaggi per intenderci.
Ora provo con Laplace, anche se avevo già provato con Fourier e non c'ero riuscito...
Vi aggiornerò (= romperò le scatole ) asap
Grazie per le risp,
bye
Ora provo con Laplace, anche se avevo già provato con Fourier e non c'ero riuscito...
Vi aggiornerò (= romperò le scatole
) asapGrazie per le risp,
bye
Scusate la domanda idiota, ma se ho
$k ** \phi = \lambda \phi$
e trasformo (indico le trasformate con le lettere maiuscole)
$K \Phi = \lambda \Phi $
come trovo $\Phi$ ? Perché ovviamente non posso mica dire $(K-\lambda)\Phi=0$ allora ... perché non arrivo a niente...
Inoltre qualcuno potrebbe dirmi che quella non è una convoluzione, perché gli estremi di integrazione non sono infiniti. Comunque so che nel caso di estremi infiniti, questo problema ha le stesse autofunzioni con $\lambda=1$.
Idee?
Bye
$k ** \phi = \lambda \phi$
e trasformo (indico le trasformate con le lettere maiuscole)
$K \Phi = \lambda \Phi $
come trovo $\Phi$ ? Perché ovviamente non posso mica dire $(K-\lambda)\Phi=0$ allora ... perché non arrivo a niente...
Inoltre qualcuno potrebbe dirmi che quella non è una convoluzione, perché gli estremi di integrazione non sono infiniti. Comunque so che nel caso di estremi infiniti, questo problema ha le stesse autofunzioni con $\lambda=1$.
Idee?
Bye
Il tuo è anche un problema di punto fisso; se hai unicità della soluzione è quella nulla...
ma $\Phi$ si trova diversa da zero... e anche $\lambda$
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo