[SERIE]Studio carattere
$ sum_(k = 1) log(1+1/k) $
La sommatoria va da $ k=1 $ a $ +oo $, non ero riuscito a metterlo...
Comunque devo studiare il carattere ovvero se diverge o converge...
Io mi ricordo che $ sum(1/k) $ per k da 1 a +infinito converge a 2.
Quindi tutta sta roba converge a $ log(3) $
Eppure non ne sono sicuro ed inoltre non so come altro studiare la serie
La sommatoria va da $ k=1 $ a $ +oo $, non ero riuscito a metterlo...
Comunque devo studiare il carattere ovvero se diverge o converge...
Io mi ricordo che $ sum(1/k) $ per k da 1 a +infinito converge a 2.
Quindi tutta sta roba converge a $ log(3) $
Eppure non ne sono sicuro ed inoltre non so come altro studiare la serie
Risposte
"DigYourOwnHole":
$ sum_(k = 1) log(1+1/k) $
La sommatoria va da $ k=1 $ a $ +oo $, non ero riuscito a metterlo...
Comunque devo studiare il carattere ovvero se diverge o converge...
Io mi ricordo che $ sum(1/k) $ per k da 1 a +infinito converge a 2.
Questa mi giunge nuovissima...
"DigYourOwnHole":
Quindi tutta sta roba converge a $ log(3) $
E perché mai? Secondo quale logica?
"DigYourOwnHole":
Eppure non ne sono sicuro ed inoltre non so come altro studiare la serie
Ma studiare la teoria dal libro prima di mettersi a fare esercizi, no?
Ci sono ventordicimila criteri che è possibile applicare per studiare la convergenza di una serie.
"gugo82":
[quote="DigYourOwnHole"]$ sum_(k = 1) log(1+1/k) $
La sommatoria va da $ k=1 $ a $ +oo $, non ero riuscito a metterlo...
Comunque devo studiare il carattere ovvero se diverge o converge...
Io mi ricordo che $ sum(1/k) $ per k da 1 a +infinito converge a 2.
Questa mi giunge nuovissima...
"DigYourOwnHole":
Quindi tutta sta roba converge a $ log(3) $
E perché mai? Secondo quale logica?
"DigYourOwnHole":
Eppure non ne sono sicuro ed inoltre non so come altro studiare la serie
Ma studiare la teoria dal libro prima di mettersi a fare esercizi, no?
Ci sono ventordicimila criteri che è possibile applicare per studiare la convergenza di una serie.[/quote]
Naggia hai ragione, mi sono confuso con $ sum_(k=0) (1/2)^k $
Oggi in bus mi sono ricordato che $ sum_(k=1) 1/n $ (per k=1 to +infinite) non è altro che la definizione della "e" numero di nepero.
quindi la serie converge a $ log(1+e) $
Questa volta ci siamo? oppure bisogna usare criteri e teoremi?
quindi la serie converge a $ log(1+e) $
Questa volta ci siamo? oppure bisogna usare criteri e teoremi?
"DigYourOwnHole":
Oggi in bus mi sono ricordato che $ sum_(k=1) 1/n $ (per k=1 to +infinite) non è altro che la definizione della "e" numero di nepero.
quindi la serie converge a $ log(1+e) $
Questa volta ci siamo? oppure bisogna usare criteri e teoremi?
Ti confondi con $sum_(k=1)^(+oo) 1/(n!)$...
Puoi applicate il criterio del confronto asintotico.
"Shocker":
[quote="DigYourOwnHole"]Oggi in bus mi sono ricordato che $ sum_(k=1) 1/n $ (per k=1 to +infinite) non è altro che la definizione della "e" numero di nepero.
quindi la serie converge a $ log(1+e) $
Questa volta ci siamo? oppure bisogna usare criteri e teoremi?
Ti confondi con $sum_(k=1)^(+oo) 1/(n!)$...
Puoi applicate il criterio del confronto asintotico.
[/quote]Con il confronto asintotico converge a 0.
Mi dispiace ma io non mi trovo come dici tu.
Posta i tuoi calcoli
Posta i tuoi calcoli
"Shocker":
Mi dispiace ma io non mi trovo come dici tu.
Posta i tuoi calcoli
\( ∑=log(1+1/k) \widetilde{=}\overrightarrow{+oo} ∑log(1+0)=∑log(1) =0 \)
Dato che log(1)=0 converge a 0, dove sbaglio
Ciao
Sbagli perché questo non è il criterio del confronto asintotico, inoltre non so quanto sia corretto fare il limite di una serie...
Comunque vediamo questo esercizio.
Data la serie $sum_{k=1}^(+oo) log(1+ 1/k)$ devi determinarne la convergenza.
La prima cosa che si fa è controllare la condizione necessaria di Cauchy[nota]"Condizione necessaria affinché una serie $sum_{k=1}^oo a_k$converga è che $lim_{k->+oo}a_k = 0$." Perché la prima cosa che si fa è questa? Perché se $a_k$ non è infinitesima allora è sicuro che la serie associata ad $a_k$ non converge.[/nota]:
$lim_{k->+oo} log(1+ 1/k) = 0$
Dunque il termine generale rispetta la condizione di Cauchy, quindi possiamo proseguire[nota]ripeto: se la condizione non fosse stata rispettata allora l'esercizio si sarebbe concluso: la serie non converge.[/nota].
Per vedere se la serie converge o meno basta applicare un criterio di convergenza, in questo caso, secondo me, è più semplice applicare il criterio del confronto asintotico.
Consideriamo la serie $sum_{n=1}^(+oo) 1/k$, sappiamo che $lim_{k->+oo} (log(1+1/k))/(1/k) = 1$[nota]è un limite notevole.[/nota](il che significa che $log(1+ 1/k)$ è asintotico a $1/k$ per $k->+oo$) quindi per il criterio del confronto asintotico la serie $sum_{k=1}^(+oo)log(1+ 1/k)$ ha lo stesso carattere di $sum_{k=1}^(+oo)1/k$.
Poiché $sum_{k=1}^(+oo)1/k$ diverge allora anche $sum_{k=1}^(+oo)log(1+ 1/k)$ diverge.
"DigYourOwnHole":
\( ∑=log(1+1/k) \widetilde{=}\overrightarrow{+oo} ∑log(1+0)=∑log(1) =0 \)
Dato che log(1)=0 converge a 0, dove sbaglio
Sbagli perché questo non è il criterio del confronto asintotico, inoltre non so quanto sia corretto fare il limite di una serie...
Comunque vediamo questo esercizio.
Data la serie $sum_{k=1}^(+oo) log(1+ 1/k)$ devi determinarne la convergenza.
La prima cosa che si fa è controllare la condizione necessaria di Cauchy[nota]"Condizione necessaria affinché una serie $sum_{k=1}^oo a_k$converga è che $lim_{k->+oo}a_k = 0$." Perché la prima cosa che si fa è questa? Perché se $a_k$ non è infinitesima allora è sicuro che la serie associata ad $a_k$ non converge.[/nota]:
$lim_{k->+oo} log(1+ 1/k) = 0$
Dunque il termine generale rispetta la condizione di Cauchy, quindi possiamo proseguire[nota]ripeto: se la condizione non fosse stata rispettata allora l'esercizio si sarebbe concluso: la serie non converge.[/nota].
Per vedere se la serie converge o meno basta applicare un criterio di convergenza, in questo caso, secondo me, è più semplice applicare il criterio del confronto asintotico.
Consideriamo la serie $sum_{n=1}^(+oo) 1/k$, sappiamo che $lim_{k->+oo} (log(1+1/k))/(1/k) = 1$[nota]è un limite notevole.[/nota](il che significa che $log(1+ 1/k)$ è asintotico a $1/k$ per $k->+oo$) quindi per il criterio del confronto asintotico la serie $sum_{k=1}^(+oo)log(1+ 1/k)$ ha lo stesso carattere di $sum_{k=1}^(+oo)1/k$.
Poiché $sum_{k=1}^(+oo)1/k$ diverge allora anche $sum_{k=1}^(+oo)log(1+ 1/k)$ diverge.
@ DigYourOwnHole:
"gugo82":
Ma studiare la teoria dal libro prima di mettersi a fare esercizi, no?
"gugo82":[/quote]
@ DigYourOwnHole:
[quote="gugo82"]Ma studiare la teoria dal libro prima di mettersi a fare esercizi, no?
Non c'ho il libro, ma oggi ho stampato questa (http://www.imati.cnr.it/brezzi/matA/app ... iSerie.pdf) dispensa che mi sembra abbastanza completa, stasera la leggo.
"Shocker":
Ciao
[quote="DigYourOwnHole"]
\( ∑=log(1+1/k) \widetilde{=}\overrightarrow{+oo} ∑log(1+0)=∑log(1) =0 \)
Dato che log(1)=0 converge a 0, dove sbaglio
Sbagli perché questo non è il criterio del confronto asintotico, inoltre non so quanto sia corretto fare il limite di una serie...
Comunque vediamo questo esercizio.
Data la serie $sum_{k=1}^(+oo) log(1+ 1/k)$ devi determinarne la convergenza.
La prima cosa che si fa è controllare la condizione necessaria di Cauchy[nota]"Condizione necessaria affinché una serie $sum_{k=1}^oo a_k$converga è che $lim_{k->+oo}a_k = 0$." Perché la prima cosa che si fa è questa? Perché se $a_k$ non è infinitesima allora è sicuro che la serie associata ad $a_k$ non converge.[/nota]:
$lim_{k->+oo} log(1+ 1/k) = 0$
Dunque il termine generale rispetta la condizione di Cauchy, quindi possiamo proseguire[nota]ripeto: se la condizione non fosse stata rispettata allora l'esercizio si sarebbe concluso: la serie non converge.[/nota].
Per vedere se la serie converge o meno basta applicare un criterio di convergenza, in questo caso, secondo me, è più semplice applicare il criterio del confronto asintotico.
Consideriamo la serie $sum_{n=1}^(+oo) 1/k$, sappiamo che $lim_{k->+oo} (log(1+1/k))/(1/k) = 1$[nota]è un limite notevole.[/nota](il che significa che $log(1+ 1/k)$ è asintotico a $1/k$ per $k->+oo$) quindi per il criterio del confronto asintotico la serie $sum_{k=1}^(+oo)log(1+ 1/k)$ ha lo stesso carattere di $sum_{k=1}^(+oo)1/k$.
Poiché $sum_{k=1}^(+oo)1/k$ diverge allora anche $sum_{k=1}^(+oo)log(1+ 1/k)$ diverge.[/quote]
1'000 grazie tutto cos'ì chiaro
Solo che io non riesco ad immaginare mentalmente come faccia $ 1/k $ per $ k ->oo $ a divergere...
Cioè... è una somma di numeri che va da un massimo di 1 ($ k=1 =>1/k=1 $) ad un minimo di 0 ($ k=+oo=>1/k=0 $), quindi è sicuramente tra 1 e 3 eppure diverge?
La prof ha provato a farci capire la cosa utilizzando il paradosso di Achille e la tartaruga, non sono comunque riuscito a comprendere come può una somma finita compresa tra 1 e 3: divergere.
Bho, magari stasera dopo aver letto la dispensa mi sarà più chiaro, grazie mille comunque
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