Serie...e integrale

[Franc221]

ciao volevo sapere se potevate aiutarmi con questo esercizio


$sum_{n=0}^{oo}int_{(-1/2)}^{1}(x^nsqrt(1-x))$

[dissonance]

Puoi risparmiarti il calcolo esplicito dell'integrale, se la serie $sum_{n=0}^inftyx^nsqrt(1-x)$ converge uniformemente in $[-1/2, 1]$...Se questo è vero, scambia serie ed integrale. Dato che sai sommare $sumx^n=1/(1-x)$, l'integrale si ridurrebbe a $int_(-1/2)^1sqrt(1-x)$. Ma fai per bene le verifiche del caso (io sono un po' stanco e ho paura di stare commettendo qualche errore).

[gugo82]

"dissonance":sono un po' stanco e ho paura di stare commettendo qualche errore

In effetti...$\sum_(n=0)^(+oo)x^n\sqrt(1-x)=\sqrt(1-x)*\sum_(n=0)^(+oo)x^n=(\sqrt(1-x))/(1-x)=1/\sqrt(1-x)$ (ovviamente il tutto valido puntualmente per $|x|<=1$).

Studiare dal Rudin è tosta...

[Franc221]

ciao e grazie.....non mi è chiaro il motivo per cui visto che la serie converge uniformemente allora posso scambiare serie ed integrale...ho cercato ma non ho trovato molto che riguardi questo risultato...

[gugo82]

"Franc22":ciao e grazie.....non mi è chiaro il motivo per cui visto che la serie converge uniformemente allora posso scambiare serie ed integrale...ho cercato ma non ho trovato molto che riguardi questo risultato...

Si chiama Teorema di passaggio al limite sotto il segno d'integrale (con convergenza uniforme).
È uno dei tre risultati più importanti della teoria delle successioni di funzioni, quindi basterà cercare meglio sul libro.

Inoltre, né io né dissonance abbiamo detto che la tua serie converge uniformemente; sta a te provarlo e vedere se è possibile applicare il teorema.

[Franc221]

ok...grazie a voi credo di aver capito come risolvere...ancora grazie e ciao