Serie...ditemi se le ho risolte bene
al compito di oggi avevo due serie che ho risolto il questo modo:
1)
$\sum(n/(alphan+1))^n
ho applicato il criterio della radice
$\lim n/(alphan+1)=lim 1/(alpha(o))=1/alpha<1
e quindi converge per $\alpha >1
2)
$\sum(2^(1/logn)-1)/sqrt(n)
applicato il criterio del confronto
$\(2^(1/logn)-1)/sqrt(n)<(2^(1/logn))/sqrt(n)
$\lim(2^(1/logn))/sqrt(n)=lim e^(1/lognlog2)* 1/sqrt(n)=lim e^0* 1/sqrt(n)=0<1$ e quindi converge
ditemi che ho fatto bene......
1)
$\sum(n/(alphan+1))^n
ho applicato il criterio della radice
$\lim n/(alphan+1)=lim 1/(alpha(o))=1/alpha<1
e quindi converge per $\alpha >1
2)
$\sum(2^(1/logn)-1)/sqrt(n)
applicato il criterio del confronto
$\(2^(1/logn)-1)/sqrt(n)<(2^(1/logn))/sqrt(n)
$\lim(2^(1/logn))/sqrt(n)=lim e^(1/lognlog2)* 1/sqrt(n)=lim e^0* 1/sqrt(n)=0<1$ e quindi converge
ditemi che ho fatto bene......
Risposte
l'ultima è sbagliata. Io ho fatto così: $(e^(ln2/ln(n))-1)/sqrt(n)=ln2/(sqrt(n)ln(n))$ che non converge. Ho usato $lim(e^x-1)/x=1$
ok..ma il mio ragionamento di minorare cosi è sbagliato?se si perchè?
$\(2^(1/logn)-1)/sqrt(n)<(2^(1/logn))/sqrt(n)
$\(2^(1/logn)-1)/sqrt(n)<(2^(1/logn))/sqrt(n)
La maggiorazione è giusta, ma come fai a dire che $(2^(1/logn))/sqrt(n)$ converge?
Tu hai solo detto che è infinitesima
Tu hai solo detto che è infinitesima
"piccola88":
ok..ma il mio ragionamento di maggiorare cosi è sbagliato?se si perchè?
$(2^(1/logn)-1)/sqrt(n)<(2^(1/logn))/sqrt(n)
Non è sbagliato, ma ti porta a maggiorare con una serie divergente e quindi è inutile.
Fossi in te ricorderei il limite fondamentale $lim_(x \to 0) (a^x-1)/x=ln a$ ed andrei a calcolare l'ordine di infinitesimo (se possibile...) dell'addendo $(2^(1/logn)-1)/sqrt(n)$.
OK:(
speriamo vada bene il compito
speriamo vada bene il compito
scusate se riprendo un vecchio post,ma perche avete fatto il limite di $\x->0$ di $\(a^x-1)/x$ quando per vedere la non convergenza si fa il $\lim_(x->infty)
Il problema di $\sum (2^(1/ln n)-1)/sqrt(n)$ è vedere se è possibile trovare una decente stima asintotica per la successione degli addendi che consenta di stabilire la convergenza/divergenza della serie.*
Ora, per $n\to oo$ hai $1/lnn\to 0$ e questo ti deve far subito venire in mente il limite fondamentale $lim_(x\to 0) (a^x-1)/x=ln a$: è possibile sfruttare tale limite per ottenere una stima asintotica di $(2^(1/lnn)-1)/sqrt(n)$ poiché invero è:
$lim_(n\to oo) (2^(1/lnn)-1)/(1/lnn)=2 => 2^(1/lnn)-1 ~~ 2/lnn => (2^(1/lnn)-1)/sqrt(n) ~~ 2/(sqrt(n) lnn)$,
cosicché la tua serie si comporta esattamente come $2\sum 1/(sqrt(n) ln n)$.
Fatto ciò è facile concludere che la tua serie diverge: infatti si ha definitivamente:
$ln n<=sqrt(n) => sqrt(n) lnn <=(sqrt(n))^2=n => 1/n<= 1/(sqrt(n) lnn)$
onde la serie $\sum 1/(sqrt(n) lnn)$ diverge perchè si può definitivamente minorare con la serie armonica divergente $\sum 1/n$.
Pertanto diverge anche la serie di partenza.
__________
* Per inciso, la serie è a termini positivi: quindi o diverge positivamente o converge.
Ora, per $n\to oo$ hai $1/lnn\to 0$ e questo ti deve far subito venire in mente il limite fondamentale $lim_(x\to 0) (a^x-1)/x=ln a$: è possibile sfruttare tale limite per ottenere una stima asintotica di $(2^(1/lnn)-1)/sqrt(n)$ poiché invero è:
$lim_(n\to oo) (2^(1/lnn)-1)/(1/lnn)=2 => 2^(1/lnn)-1 ~~ 2/lnn => (2^(1/lnn)-1)/sqrt(n) ~~ 2/(sqrt(n) lnn)$,
cosicché la tua serie si comporta esattamente come $2\sum 1/(sqrt(n) ln n)$.
Fatto ciò è facile concludere che la tua serie diverge: infatti si ha definitivamente:
$ln n<=sqrt(n) => sqrt(n) lnn <=(sqrt(n))^2=n => 1/n<= 1/(sqrt(n) lnn)$
onde la serie $\sum 1/(sqrt(n) lnn)$ diverge perchè si può definitivamente minorare con la serie armonica divergente $\sum 1/n$.
Pertanto diverge anche la serie di partenza.
__________
* Per inciso, la serie è a termini positivi: quindi o diverge positivamente o converge.
ok..grazie sei sempre il migliore!!
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