Serie??converge o no??

[stokesNavier]

Ciao a tutti amici rieccomi qui dopo un po' di tempo
ho un quesito che non riesco a risolvere..

qualcuno puo' darmi una mano?
sapete dirmi se converge la serie per n che va da 1 a + infinito di An=ln{(n^2+1)/(n^2)}

grazie a tutti quelli che mi aiuteranno.
michele.

[fu^2]

$sum_(n=1)^(+oo)ln{(n^2+1)/(n^2)}=sum_(n=1)^(+oo)ln{1+1/n^2}

questa definitivamente è asintotica a $sum_(n=1)^(+oo)1/(n^2)$ (questa stima asintotica la ricavi sviluppando il logaritmo, che quando tende all'infinito 1/n^2 è un infinitesimo)
quindi converge.

ciaooo

[franced]

"fu^2":$sum_(n=1)^(+oo)ln{(n^2+1)/(n^2)}=sum_(n=1)^(+oo)ln{1+1/n^2}

questa definitivamente è asintotica a $sum_(n=1)^(+oo)1/(n^2)$ (questa stima asintotica la ricavi sviluppando il logaritmo, che quando tende all'infinito 1/n^2 è un infinitesimo)
quindi converge.

ciaooo

Non solo, ma si può anche dire che $sum_(n=1)^(+oo)ln(1+1/n^2) $ $<$ $pi^2/6$.

[moreno88]

esatto concordo!l'ho fatta anche io una simile così durante l'esercitazione con il prof!

[Amath]

"fu^2":$sum_(n=1)^(+oo)ln{(n^2+1)/(n^2)}=sum_(n=1)^(+oo)ln{1+1/n^2}

questa definitivamente è asintotica a $sum_(n=1)^(+oo)1/(n^2)$ (questa stima asintotica la ricavi sviluppando il logaritmo, che quando tende all'infinito 1/n^2 è un infinitesimo)
quindi converge.

ciaooo

Sostituisci con lo sviluppo di McLaurin del logaritmo?
$ln(1+1/n^2) = 1/n^2 + o(1/n^2)$