SerieComplessa
Salve,
Stavo cominciando a studiare l'estensione in campo complesso delle serie numeriche, e mi trovo in difficoltà a determinare il raggio di convergenza della serie di potenze, centrata in un punto x0 positivo:
$\sum_{k=0}^(00) (-1)^k(z)^(2k)$
essendo la serie geometrica convergente a $1/(1+z^2)$ per z appartenente all'intorno sferico di centro zero e raggio unitario. A questo proposito il professore ha fatto notare che restringendo al caso reale ( immagino imponendo, essendo $z=x+iy$, $y=0$), ritrovo la serie geometrica nel caso reale con il raggio di convergenza nell'intorno circolare di raggio unitario. Dopodichè ci ha chiesto di provare a trovare, nel caso reale, il raggio di convergenza nel caso la serie di potenze sia centrata in un punto positivo. Ho provato una sostituzione del tipo $t=x-x0 $, con t---> 0, dovrei poi sviluppare in serie di potenze $1/(1+(t+x0)^2)$... e trovarne il raggio di convergenza. Adesso ho provato a ricondurmi a una cosa tipo, sviluppando il quadrato:
$1/((1+x0^2)(1+(t^2+2tx0)/(1+x0^2)))$ e ricondurmi a qualcosa del tipo $(1+X)^-1$ con X che tende a zero... ma poi non riesco ad andare avanti, o meglio c'è di mezzo un coefficiente binomiale da trattare con il limite ( per trovare il raggio di convergenza) che non so come prendere, sempre che la mia considerazione sia giusta. (Ho notato che se il rapporto dei coefficienti viene 1, il raggio è proprio quello che cerco, ovvero $root(2)(1+x0^2)$, non so se è un caso).
Vi ringrazio in anticipo!
Stavo cominciando a studiare l'estensione in campo complesso delle serie numeriche, e mi trovo in difficoltà a determinare il raggio di convergenza della serie di potenze, centrata in un punto x0 positivo:
$\sum_{k=0}^(00) (-1)^k(z)^(2k)$
essendo la serie geometrica convergente a $1/(1+z^2)$ per z appartenente all'intorno sferico di centro zero e raggio unitario. A questo proposito il professore ha fatto notare che restringendo al caso reale ( immagino imponendo, essendo $z=x+iy$, $y=0$), ritrovo la serie geometrica nel caso reale con il raggio di convergenza nell'intorno circolare di raggio unitario. Dopodichè ci ha chiesto di provare a trovare, nel caso reale, il raggio di convergenza nel caso la serie di potenze sia centrata in un punto positivo. Ho provato una sostituzione del tipo $t=x-x0 $, con t---> 0, dovrei poi sviluppare in serie di potenze $1/(1+(t+x0)^2)$... e trovarne il raggio di convergenza. Adesso ho provato a ricondurmi a una cosa tipo, sviluppando il quadrato:
$1/((1+x0^2)(1+(t^2+2tx0)/(1+x0^2)))$ e ricondurmi a qualcosa del tipo $(1+X)^-1$ con X che tende a zero... ma poi non riesco ad andare avanti, o meglio c'è di mezzo un coefficiente binomiale da trattare con il limite ( per trovare il raggio di convergenza) che non so come prendere, sempre che la mia considerazione sia giusta. (Ho notato che se il rapporto dei coefficienti viene 1, il raggio è proprio quello che cerco, ovvero $root(2)(1+x0^2)$, non so se è un caso).
Vi ringrazio in anticipo!
Risposte
Ciao franzcecco,
Beh, vale il teorema di Abel: se una serie di potenze
$sum_{k = 0}^{+\infty} a_k (x - x_0)^k $
ha raggio di convergenza $R \ge 0 $ (nel tuo caso $R = 1 > 0 $) e quindi converge puntualmente $\AA x \in \RR : |x - x_0| < R $ allora
i) se converge puntualmente in $x_0 - R $, allora convergerà uniformemente in ogni intervallo chiuso e limitato contenuto in $[x_0 - R, x_0 + R)$;
ii) se converge puntualmente in $x_0 + R $, allora convergerà uniformemente in ogni intervallo chiuso e limitato contenuto in $(x_0 - R, x_0 + R]$;
iii) se converge puntualmente in $x_0 - R $ e in $x_0 + R $, allora convergerà uniformemente in ogni intervallo chiuso e limitato contenuto in $[x_0 - R, x_0 + R]$.
Beh, vale il teorema di Abel: se una serie di potenze
$sum_{k = 0}^{+\infty} a_k (x - x_0)^k $
ha raggio di convergenza $R \ge 0 $ (nel tuo caso $R = 1 > 0 $) e quindi converge puntualmente $\AA x \in \RR : |x - x_0| < R $ allora
i) se converge puntualmente in $x_0 - R $, allora convergerà uniformemente in ogni intervallo chiuso e limitato contenuto in $[x_0 - R, x_0 + R)$;
ii) se converge puntualmente in $x_0 + R $, allora convergerà uniformemente in ogni intervallo chiuso e limitato contenuto in $(x_0 - R, x_0 + R]$;
iii) se converge puntualmente in $x_0 - R $ e in $x_0 + R $, allora convergerà uniformemente in ogni intervallo chiuso e limitato contenuto in $[x_0 - R, x_0 + R]$.
Ti ringrazio per la risposta pilloeffe, ho ben presente il teorema di abel, il mio problema qui era capire bene come calcolare il raggio di convergenza della funzione in t, una volta ricondotta a una serie di potenze di forma nota, che non so come affrontare bene...
"franzcecco":
Ti ringrazio per la risposta pilloeffe
Prego.
"franzcecco":
Dopodichè [il professore] ci ha chiesto di provare a trovare, nel caso reale, il raggio di convergenza nel caso la serie di potenze sia centrata in un punto positivo.
Su questa frase ho qualche dubbio di interpretazione... Che $x_0$ sia positivo, negativo o nullo poco importa: $R$ non cambia... Cambia invece l'intervallo di convergenza della serie, che è un intervallo di centro $x_0$ (centro della serie) il quale:
1) si riduce al solo punto $x_0 $ se $R = 0 $;
2) coincide con l'insieme dei numeri reali $\RR $ se $R = +\infty $;
3) è l'aperto $(x_0 - R, x_0 + R)$ se $R \in (0, +\infty) $
"franzcecco":
... il mio problema qui era capire bene come calcolare il raggio di convergenza della funzione in t
Mah, qui non ti seguo: che cos'è il "raggio di convergenza della funzione in t"? Sta per raggio di convergenza della serie in funzione di $t$ ? Se $t := x - x_0 $, il raggio di convergenza $R$ non è funzione di $t$: tant'è vero che in alcuni esercizi si pone $t := x - x_0 $ proprio per ricondursi ad una più comoda serie di potenze centrata in $0$, che ha lo stesso raggio di convergenza $R$ di quella iniziale.
"franzcecco":
una volta ricondotta a una serie di potenze di forma nota, che non so come affrontare bene...
Qui è buio completo... Cos'è che non sai come affrontare bene? Magari se riporti un esempio riesco ad aiutarti meglio...
Si allora, il problema mio era dimostrare come si arriva a determinare il raggio di convergenza della serie convergente alla funzione $1/(1+(x-x0)^2$ che dovrebbe risultare $R=sqrt(1+x0^2)$, la cui serie geometrica ha argomento $-(x-x0)^2$ che dovrebbe risultare, con quella sostituzione con t, $Rt=1$ e quindi tornando in x anche in questo caso...perchè invece ho quel risultato? Difatto mi sembra anche a me sia lo stesso (e l'intervallo di convergenza ovviamente si sposta attorno al punto), ma il raggio cambia in funzione del punto qui... Lo leggo anche sul libro di Analisi II ma non c'è una dimostrazione.
Piccolo up, forse è anche il caso che si sposti nell'altra sezione...
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