[Serie]Come calcolare il termine asintotico di una funzione?
Negli esercizi svolti mi capita spesso di leggere sinx ~ x
Capisco che questo è dimostrato come il limite x-> +infinito del rapporto tra le due funzioni. Quello che mi chiedo è, partendo da funzioni (polinomi, frazioni etc) come calcolo un suo termine asintotico??
Capisco che questo è dimostrato come il limite x-> +infinito del rapporto tra le due funzioni. Quello che mi chiedo è, partendo da funzioni (polinomi, frazioni etc) come calcolo un suo termine asintotico??
Risposte
Attenzione... $sin(x) sim x$ è vero solo per $x -> 0$, non per $x -> +oo$.
"Seneca":
Attenzione... $sin(x) sim x$ è vero solo per $x -> 0$, non per $x -> +oo$.
Ok, comunque sia come faccio ad ottenere il termine asintoto?
In questo caso avendo sinx per x-> 0 come ottengo quell'x??
Lo stesso vale anche per funzioni molto più complesse
"marcop":
[quote="Seneca"]Attenzione... $sin(x) sim x$ è vero solo per $x -> 0$, non per $x -> +oo$.
Ok, comunque sia come faccio ad ottenere il termine asintoto?
In questo caso avendo sinx per x-> 0 come ottengo quell'x??
Lo stesso vale anche per funzioni molto più complesse[/quote]
Il simbolo $sim$ cosa indica? Come ti è stata introdotta la notazione $f sim g$?
Si, "f è asintotica a g"
Cosa significa che sono asintotiche (vorrei mi scrivessi la definizione che hai studiato)?
Il limite a + infinito del loro rapporto è uguale a 1
"marcop":
Il limite a + infinito del loro rapporto è uguale a 1
Le definizioni sono importanti in matematica. Perché non la riporti per esteso e con un po' più di cura?
\(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \frac{a_n}{b_n} = l, 0
Inoltre, sul libro molte volte viene considerato \(\displaystyle sin(1/x) \) ~ \(\displaystyle 1/x \), come mai? Quel rapporto non vale solo per $x->0$ ?? Il confronto asintotico dovrebbe essere solo per $x-> infty$, vero?
Inoltre, sul libro molte volte viene considerato \(\displaystyle sin(1/x) \) ~ \(\displaystyle 1/x \), come mai? Quel rapporto non vale solo per $x->0$ ?? Il confronto asintotico dovrebbe essere solo per $x-> infty$, vero?
Se $lim_{x->x_0} (f(x))/(g(x)) =1$, allora si dice che $f$ è asintotica a $g$ per $x->x_0$.
$sen(1/x)$ è asintotica a $1/x$ per $x-> infty$, mentre $sen x$ è asintotica a $x$ per $x->0$. Se non ti è chiaro perchè, chiedi pure.
Non esiste un metodo generale, ma solitamente si utilizzano gli sviluppi di Taylor, o gli ordini di infinito (in diversi contesti).
Così si trovano stime di tipo polinomiale.
Al momento non riesco ad essere più esauriente, forse qualcun altro ti potrà suggerire qualche libro di analisi.
$sen(1/x)$ è asintotica a $1/x$ per $x-> infty$, mentre $sen x$ è asintotica a $x$ per $x->0$. Se non ti è chiaro perchè, chiedi pure.
Non esiste un metodo generale, ma solitamente si utilizzano gli sviluppi di Taylor, o gli ordini di infinito (in diversi contesti).
Così si trovano stime di tipo polinomiale.
Al momento non riesco ad essere più esauriente, forse qualcun altro ti potrà suggerire qualche libro di analisi.
Dunque, quando svolgo le serie devo considerare $x -> $ $ oo $ , giusto?
In una serie (da 1 a infinto) viene fatta questa sostituzione usando taylor
$ sqrt(1+ 1/k^2) -1 $
Che viene riscritto in: $ 1/(2k^2) (1+ o(1)) $
Che passaggi ha fatto? Avendo la prima, come posso ottenere la seconda? Capisco che i due solno equivalenti, ma solo dopo che conosco il secondo. A priori come lo ottengo il secondo?
In una serie (da 1 a infinto) viene fatta questa sostituzione usando taylor
$ sqrt(1+ 1/k^2) -1 $
Che viene riscritto in: $ 1/(2k^2) (1+ o(1)) $
Che passaggi ha fatto? Avendo la prima, come posso ottenere la seconda? Capisco che i due solno equivalenti, ma solo dopo che conosco il secondo. A priori come lo ottengo il secondo?
E' noto che $(1+t)^\alpha\sim 1+\alpha t$ per ogni $\alpha\ne 0$ e per $t\to 0$. Nel tuo caso $t=1/{k^2}$ e $\alpha=1/2$.
"ciampax":
E' noto che $(1+t)^\alpha\sim 1+\alpha t$ per ogni $\alpha\ne 0$ e per $t\to 0$. Nel tuo caso $t=1/{k^2}$ e $\alpha=1/2$.
Cos'è un limite notevole? Da dove viene?
In generale ci sono regole da adottare? Tralasciando questo caso specifico, ogni volta a cosa si fà riferimento? Ai limiti notevoli?
Qual è la relazione tra questo e gli sviluppi di taylor?
Lo hai mai aperto un libro di teoria?
"ciampax":
Lo hai mai aperto un libro di teoria?
Si, ma non riesco a trovare i nessi, queste cose vengono tralasciate. Dimmi solo quali argomenti coinvolge, che me li vedo separatamente.
Non capisco come trovare il termine con cui è asintotico. Sò la definizione di confronto asintotico, e con il senno di poi capisco che due termini sono asintotici, ma conoscendo il primo cme trovo il secondo termine??
l'asintotico è lo sviluppo al primo ordine di Taylor, niente di più semplice
"ing.cane":
l'asintotico è lo sviluppo al primo ordine di Taylor, niente di più semplice
Perfetto, era quello il pezzo del puzzle che mi mancava!
"marcop":
Dunque, quando svolgo le serie devo considerare $x -> $ $ oo $ , giusto?
In una serie (da 1 a infinto) viene fatta questa sostituzione usando taylor
$ sqrt(1+ 1/k^2) -1 $
Che viene riscritto in: $ 1/(2k^2) (1+ o(1)) $
Che passaggi ha fatto? Avendo la prima, come posso ottenere la seconda? Capisco che i due solno equivalenti, ma solo dopo che conosco il secondo. A priori come lo ottengo il secondo?
Ok, sto rifacendo i calcoli ma mi viene: $ (1 + x) ^ A = 1 + Ax + o(x) $ quindi non dovrebbe essere $ 1/(2k^2) + o(1/(k^2)) $ invece scrive $Ax + A(x) $, come mai moltiplica per $A$ anche l'o-piccolo?
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