Serie!Chi mi aiuta?
Ho bisogno di una mano ragazzi...Sul compito di analisi c'era questa serie e non sono stato in grado di svolgerla...Lunedi ho l'orale e probabilmente mi chiederà come si svolge...qualcuno mi può dare gentilmente una mano?grazie mille...La serie è questa...devo discuterla al variare di alfa e l
$ sum <[(1+1/n^3)^(n^a) -l]> $
$ sum <[(1+1/n^3)^(n^a) -l]> $
Risposte
ah la sommatoria è da 1 a n !
prima di tutto io calcolerei il limite per $n\to\infty$ di
$(1+1/n^3)^{n^\alpha}=((1+1/n^3)^{n^3})^{\alpha/3}$.
EDIT. Ho letto solo ora il secondo messaggio e la cosa mi ha un po' confuso (dunque avresti una somma parziale ?). Com'era esattamente il testo dell'esercizio ?
Comunque credo che il mio suggerimento sia comunque valido.
$(1+1/n^3)^{n^\alpha}=((1+1/n^3)^{n^3})^{\alpha/3}$.
EDIT. Ho letto solo ora il secondo messaggio e la cosa mi ha un po' confuso (dunque avresti una somma parziale ?). Com'era esattamente il testo dell'esercizio ?
Comunque credo che il mio suggerimento sia comunque valido.
La sommatoria va da n>1 a infinito...scusate ho fatto un po do confusione io...ok il limite lo avevo fatto e avevo trovato che puo convergere se alpha=3 e l=e....poi non sapevo come distinguere gli altri casi
"miroslav21":
La sommatoria va da n>1 a infinito...scusate ho fatto un po do confusione io...ok il limite lo avevo fatto e avevo trovato che puo convergere se alpha=3 e l=e....poi non sapevo come distinguere gli altri casi
SCUSA HO SCRITTO UNA STUPIDAGGINE. In effetti
$a_n=(1+1/n^3)^{n^\alpha}=((1+1/n^3)^{n^3})^{n^{3-\alpha}}$ e quindi
$a_n\to e$ se $\alpha=3$, $a_n\to+\infty$ se $\alpha<3$ mentre $a_n\to 1$ se $\alpha>3$.
Allora la condizione necessaria implica $l=1$ se $\alpha>3$ o $l=e$ se $\alpha=3$.
Per vedere se la condizione è sufficiente io scriverei (prendiamo il caso $\alpha=3$)
$a_n=e^{n^3\ln(1+1/n^3)}-e=e(e^{n^3\ln(1+1/n^3)-1}-1)$
e userei Taylor sviluppando al secondo ordine $\ln(1+x)$ con $x=1/n^3$ ....
Senti scusa ma non ho capito ancora i casi,perchè se alpha minore di tre an va a infinito e se alpha maggiore di tre an tende a 1? Grazie
Ehhm ho fatto un altro errore (di segno 
). Da capo!
Se non sbaglio:
$a_n=((1+1/n^3)^{n^3})^{n^{\alpha-3}}$
(controlla... ). Dato che
$(1+1/n^3)^{n^3}\to e$
allora se $\alpha>3$, l'esponenente $n^{\alpha-3}\to+\infty$, e quindi il limite "fa" $e^{+\infty}=+\infty$, mentre se
$\alpha<3$ si ha $n^{\alpha-3}\to 0$, e quindi viene $e^{0}=1$ (i due casi erano scambiati - sorry
). Poi si dovrebbe continuare come dicevo prima. Per farmi perdonare provo a svolgere il caso $\alpha=3$. Ripetendo i calcoli indicati l'altra volta abbiamo:
$a_n=e(e^{n^3\ln(1+1/n^3)-1}-1)$. Dato che $\ln(1+x)=x-x^2/2+o(x^2)$ (per $x\to 0$) si ha
$a_n=e(e^{n^3(1/n^3-1/2 1/n^6+o(1/n^6))-1}-1)=a_n=e(e^{-1/2 1/n^3+o(1/n^3))-1)$.
Ora usiamo $e^x=1+x+o(x)$ (per $x\to 0$) da cui
$a_n=e(1-1/2 1/n^3+o(1/n^3)+o(-1/2 1/n^3+o(1/n^3))-1)=e(-1/2 1/n^3+o(1/n^3))=-e/2 1/n^3+o(1/n^3)$.
Dunque $a_n$ è asintotica a $b_n:=-e/2 1/n^3$ (che ha segno costante) e $\sum_n b_n$ converge, per cui $\sum_n a_n$ converge.
Vedi se stavolta torna...
). Da capo!Se non sbaglio:
$a_n=((1+1/n^3)^{n^3})^{n^{\alpha-3}}$
(controlla... ). Dato che
$(1+1/n^3)^{n^3}\to e$
allora se $\alpha>3$, l'esponenente $n^{\alpha-3}\to+\infty$, e quindi il limite "fa" $e^{+\infty}=+\infty$, mentre se
$\alpha<3$ si ha $n^{\alpha-3}\to 0$, e quindi viene $e^{0}=1$ (i due casi erano scambiati - sorry
). Poi si dovrebbe continuare come dicevo prima. Per farmi perdonare provo a svolgere il caso $\alpha=3$. Ripetendo i calcoli indicati l'altra volta abbiamo:$a_n=e(e^{n^3\ln(1+1/n^3)-1}-1)$. Dato che $\ln(1+x)=x-x^2/2+o(x^2)$ (per $x\to 0$) si ha
$a_n=e(e^{n^3(1/n^3-1/2 1/n^6+o(1/n^6))-1}-1)=a_n=e(e^{-1/2 1/n^3+o(1/n^3))-1)$.
Ora usiamo $e^x=1+x+o(x)$ (per $x\to 0$) da cui
$a_n=e(1-1/2 1/n^3+o(1/n^3)+o(-1/2 1/n^3+o(1/n^3))-1)=e(-1/2 1/n^3+o(1/n^3))=-e/2 1/n^3+o(1/n^3)$.
Dunque $a_n$ è asintotica a $b_n:=-e/2 1/n^3$ (che ha segno costante) e $\sum_n b_n$ converge, per cui $\sum_n a_n$ converge.
Vedi se stavolta torna...
Allora il caso con a=3 è perfetto,grazie mille...ti volevo chiedere ancora una cosa perfavore,nel caso a>3 non avrei n elevato a una cosa che va all'infinito e quindi è una forma indeterminata? E poi nel caso a<3, scusa ma, non ho capito perchè l'esponente viene 0
"miroslav21":
Allora il caso con a=3 è perfetto,grazie mille...ti volevo chiedere ancora una cosa perfavore,nel caso a>3 non avrei n elevato a una cosa che va all'infinito e quindi è una forma indeterminata? E poi nel caso a<3, scusa ma, non ho capito perchè l'esponente viene 0
Abbiamo $a_n=b_n^{n^{\alpha-3}}$ con $b_n\to e$.
Se $\alpha>3$ allora $\a-3>0$ e quindi $n^{\alpha-3}\to+\infty$ e quindi $a_n\to$"$e^{+\infty}$"$=+\infty$.
In effettti dato $A>1$ allora $A^{+\infty}=+\infty$, mentre se $0
Nel caso $\alpha<3$ si ha $3-\alpha>0$ e quindi $n^{\alpha-3}= 1/n^{3-\alpha}\to 1/\infty=0$
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