Serie:alla ricerca del carattere
Avrei da risolvere questa serie. Vi espongo il mio ragionamento:
$sum_{n=1}^infty (n-sinn)(1/n-sin(1/n))$
La seguente serie è una serie a termini positivi quindi essa potrà convergere o divergere a $+infty$. Alla prima occhiata i componenti della serie mi rimandano ai due limiti notevoli:
$lim_(x to 0) (x-sinx)/x^2=0$
$lim_(x to 0) (x-sinx)/x^3=1/6$
A questo punto del ragionamento mi blocco. chi mi aiuta ad andare avanti?
$sum_{n=1}^infty (n-sinn)(1/n-sin(1/n))$
La seguente serie è una serie a termini positivi quindi essa potrà convergere o divergere a $+infty$. Alla prima occhiata i componenti della serie mi rimandano ai due limiti notevoli:
$lim_(x to 0) (x-sinx)/x^2=0$
$lim_(x to 0) (x-sinx)/x^3=1/6$
A questo punto del ragionamento mi blocco. chi mi aiuta ad andare avanti?
Risposte
Mi sembra che tu sia sulla strada giusta. A partire dai limiti che hai riportato, che non sono così "notevoli" ma si dimostrano sviluppando in serie di Taylor la funzione seno 
, prova ad utilizzare il criterio del confronto asintotico.
, prova ad utilizzare il criterio del confronto asintotico.
"mazzy89":
Avrei da risolvere questa serie. Vi espongo il mio ragionamento:
$sum_{n=1}^infty (n-sinn)(1/n-sin(1/n))$
La seguente serie è una serie a termini positivi quindi essa potrà convergere o divergere a $+infty$. Alla prima occhiata i componenti della serie mi rimandano ai due limiti notevoli:
$lim_(x to 0) (x-sinx)/x^2=0$
$lim_(x to 0) (x-sinx)/x^3=1/6$
A questo punto del ragionamento mi blocco. chi mi aiuta ad andare avanti?
Studiare la serie che hai riportato, oppure studiare la seguente è la stessa cosa...
$sum_{n=1}^infty n*(n-sinn)/n *(1/n)*(1/n-sin(1/n))/(1/n) = sum_{n=1}^infty (n-sinn)/n *(1/n-sin(1/n))/(1/n)$.
Ora il primo termine tende a "1", mentre il secondo tende a zero per $n->+oo$.
A questo punto dobbiamo vedere "come" il secondo termine tende a zero. A tale scopo ci viene utile adoperare il secondo limite che hai riportato. Si osserva che l'argomento della serie è asintotico a $1/n^3$, il che ci da la convegenza.
"clrscr":
[quote="mazzy89"]Avrei da risolvere questa serie. Vi espongo il mio ragionamento:
$sum_{n=1}^infty (n-sinn)(1/n-sin(1/n))$
La seguente serie è una serie a termini positivi quindi essa potrà convergere o divergere a $+infty$. Alla prima occhiata i componenti della serie mi rimandano ai due limiti notevoli:
$lim_(x to 0) (x-sinx)/x^2=0$
$lim_(x to 0) (x-sinx)/x^3=1/6$
A questo punto del ragionamento mi blocco. chi mi aiuta ad andare avanti?
Studiare la serie che hai riportato, oppure studiare la seguente è la stessa cosa...
$sum_{n=1}^infty n*(n-sinn)/n *(1/n)*(1/n-sin(1/n))/(1/n) = sum_{n=1}^infty (n-sinn)/n *(1/n-sin(1/n))/(1/n)$.
Ora il primo termine tende a "1", mentre il secondo tende a zero per $n->+oo$.
A questo punto dobbiamo vedere "come" il secondo termine tende a zero. A tale scopo ci viene utile adoperare il secondo limite che hai riportato. Si osserva che l'argomento della serie è asintotico a $1/n^3$, il che ci da la convegenza.[/quote]
Ma è tutto l'argomento della serie che è asintotico a $1/n^3$? E' giusto scrivere:
$sum_{n=1}^infty n^3(n-sinn)/(n^3)*((1/n^3)(1/n-sin(1/n)))/(1/n^3)$
????
"clrscr":
[quote="mazzy89"]Avrei da risolvere questa serie. Vi espongo il mio ragionamento:
$sum_{n=1}^infty (n-sinn)(1/n-sin(1/n))$
La seguente serie è una serie a termini positivi quindi essa potrà convergere o divergere a $+infty$. Alla prima occhiata i componenti della serie mi rimandano ai due limiti notevoli:
$lim_(x to 0) (x-sinx)/x^2=0$
$lim_(x to 0) (x-sinx)/x^3=1/6$
A questo punto del ragionamento mi blocco. chi mi aiuta ad andare avanti?
Studiare la serie che hai riportato, oppure studiare la seguente è la stessa cosa...
$sum_{n=1}^infty n*(n-sinn)/n *(1/n)*(1/n-sin(1/n))/(1/n) = sum_{n=1}^infty (n-sinn)/n *(1/n-sin(1/n))/(1/n)$.
Ora il primo termine tende a "1", mentre il secondo tende a zero per $n->+oo$.
A questo punto dobbiamo vedere "come" il secondo termine tende a zero. A tale scopo ci viene utile adoperare il secondo limite che hai riportato. Si osserva che l'argomento della serie è asintotico a $1/n^3$, il che ci da la convegenza.[/quote]
Ho commesso un piccolo errore...
Dunque, la "nuova serie": sarà
$sum_{n=1}^infty n*(n-sinn)/n *(1/n)*(1/n-sin(1/n))/(1/n) = sum_{n=1}^infty (n-sinn)/n *(1/n-sin(1/n))/(1/n)$.
Ora visto che il primo temine tende a 1 la nostra attenzione cade sul secondo termine (che è quello che fa andare a zero il limite).
Quindi:
$(1/n-sin(1/n))/(1/n)$ è asintotico a $1/n^2$ (erroneamente avevo scritto $1/n^3$).
Puoi anche considerare la serie attraverso la tua "manipolazione"....In questo caso è indispensabile sapere il comportamento asintotico del primo termine (pure lui asintotico a $1/n^2$).
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