Serie trigonometrica
Salve,
devo risolvere la seguente sommatoria [tex]\frac{cosn}{n} sin(\frac{1}{n^k})[/tex] per n che va da 1 a infinito con k > 0.
Il limite fa 0, ma come devo proseguire? La serie è a termini positivi? Io credo che i termini vadano da -1 a 1.
Quindi magari potrei usare l'assoluta convergenza, calcolarne il limite (che farebbe 0) e quindi concludere che la serie converge in quanto converge assolutamente. Il ragionamento è corretto o stò sbagliando qualcosa?
Grazie in anticipo.
devo risolvere la seguente sommatoria [tex]\frac{cosn}{n} sin(\frac{1}{n^k})[/tex] per n che va da 1 a infinito con k > 0.
Il limite fa 0, ma come devo proseguire? La serie è a termini positivi? Io credo che i termini vadano da -1 a 1.
Quindi magari potrei usare l'assoluta convergenza, calcolarne il limite (che farebbe 0) e quindi concludere che la serie converge in quanto converge assolutamente. Il ragionamento è corretto o stò sbagliando qualcosa?
Grazie in anticipo.
Risposte
Non è una "sommatoria" ma una serie: i termini sono fondamentali. Al momento hai solo fatto vedere che il termine generale ha come limite zero, ma questo non basta: dovresti usare un qualche criterio di convergenza per le serie numeriche a segni positivi. Quali conosci? E, soprattutto, qual è la serie dei valori assoluti che viene fuori?
Hai ragione, chiedo venia.
Il limite del termine generale an tende a 0, quindi la serie potrebbe convergere. Come ho già scritto, credo di essere di fronte ad una serie a segno variabile (proprio perchè il sin e il cos sono compresi tra -1 e 1), quindi potrei semplicemente vedere cosa succede di fronte al limite del termine generale dei valori assoluti. Tale limite è 0, quindi converge assolutamente ma anche semplicemente.
Ho sbagliato qualcosa?
Il limite del termine generale an tende a 0, quindi la serie potrebbe convergere. Come ho già scritto, credo di essere di fronte ad una serie a segno variabile (proprio perchè il sin e il cos sono compresi tra -1 e 1), quindi potrei semplicemente vedere cosa succede di fronte al limite del termine generale dei valori assoluti. Tale limite è 0, quindi converge assolutamente ma anche semplicemente.
Ho sbagliato qualcosa?
Io avrei maggiorato la serie dei valori assoluti, nei casi come questo in cui compaiono le funzioni trigonometriche limitate è piuttosto semplice. Inoltre, con l'utilizzo di un semplice asintotico, riesci a dimostrare la convergenza per ogni $ k $
Potresti dirmi con cosa l'avresti maggiorato?
$ sum_(n = 1)^(oo)|cos(n)/n*sin(1/n^k) |=sum_(n = 1)^(oo)|cos(n)|/n*|sin(1/n^k) |<=sum_(n = 1)^(oo)1/n*|sin(1/n^k)| ~ sum_(n = 1)^(oo)(1/n*1/n^k) $ e poiché $ k $ è maggiore di $ 0 $ abbiamo che il termine generale ha ordine di infinitesimo maggiore di uno, quindi la serie converge.
Non è l'unico metodo però, e forse è un po' laborioso. Se riesci ad usare un criterio migliore... (e ce n'è uno bello bello da utilizzare qui!)
Non è l'unico metodo però, e forse è un po' laborioso. Se riesci ad usare un criterio migliore... (e ce n'è uno bello bello da utilizzare qui!)
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