Serie tipo esame...

[pagnottina1]

Questa serie mi da alcuni problemi infatti bisogna calcolarla al variare del parametro reale positivo $\alpha$.

$\sum_{n=1}^(+infty) 1/n^\alpha* log(1+sin(1/sqrt(n)))$

Ho provato a confrontarla con $sin(1/sqrt(n))$, con $(1/n^\alpha)/sin(1/sqrt(n))$ ma alla fine mi risulta sempre convergente per $\alpha> -1/2$ e non ne sono neanche sicura.
Voi come lo fareste?

[Covenant]

"pagnottina":Questa serie mi da alcuni problemi infatti bisogna calcolarla al variare del parametro reale positivo $\alpha$.

$\sum_{n=1}^(+infty) 1/n^\alpha* log(1+sin(1/sqrt(n)))$

Ho provato a confrontarla con $sin(1/sqrt(n))$, con $(1/n^\alpha)/sin(1/sqrt(n))$ ma alla fine mi risulta sempre convergente per $\alpha> -1/2$ e non ne sono neanche sicura.
Voi come lo fareste?

osserva che $log(1+sin(1/sqrt(n)))$ è infinitesimo di ordine $1/2$ per $ntooo$. Quindi, poichè per convergere l'argomento della serie deve essere un infinitesimo di ordine $>1$, deve essere: $\alpha +1/2>1$ da cui facilmente si ricava che $\alpha>1/2$

[pagnottina1]

Ma come faccio a capire che è infinitesimo di ordine $1/2$???

[gugo82]

"pagnottina":Questa serie mi da alcuni problemi infatti bisogna calcolarla al variare del parametro reale positivo $\alpha$.

$\sum_{n=1}^(+infty) 1/n^\alpha* log(1+sin(1/sqrt(n)))$

Ho provato a confrontarla con $sin(1/sqrt(n))$, con $(1/n^\alpha)/sin(1/sqrt(n))$ ma alla fine mi risulta sempre convergente per $\alpha> -1/2$ e non ne sono neanche sicura.
Voi come lo fareste?

Devi applicare i limiti notevoli per stabilire l'odine d'infinitesimo della successione degli addendi.

Ad esempio, visto che $1/\sqrt(n) \to 0$, sfruttando i limiti notevoli $sin x/x\to 1$ e $log(1+x)/x\to 1$ per $x\to 0$ hai:

$1/n^\alpha* log(1+sin(1/sqrt(n)))=sin(1/\sqrt(n))/n^alpha*(log(1+sin(1/\sqrt(n))))/(sin(1/\sqrt(n)))=(1/sqrt(n))/n^alpha*(sin(1/\sqrt(n)))/(1/\sqrt(n))*(log(1+sin(1/\sqrt(n))))/(sin(1/\sqrt(n)))=1/n^(alpha+1/2)*(sin(1/\sqrt(n)))/(1/\sqrt(n))*(log(1+sin(1/\sqrt(n))))/(sin(1/\sqrt(n)))$

quindi la successione degli addendi è infinitesima in $+oo$ d'ordine $alpha+1/2$.

Per terminare l'esercizio basta imporre che l'ordine d'infinitesimo sia $>1$.

[Covenant]

"pagnottina":Ma come faccio a capire che è infinitesimo di ordine $1/2$???

dal limite notevole del logaritmo sai che $lim_(xto0) ln(x+1)/x = 1$. Questo ti dice che $ln(x+1)$ è un infinitesimo di ordine $1$ per $xto0$. Ma per lo stesso limite notevole (basta ricondurcelo con un cambio di variabile) si ha che $lim_(xtooo) ln(1 + sin(1/sqrtx))/sin(1/sqrtx) = 1$ il che ti dice allora che $ln(1 + sin(1/sqrtx))$ è infinitesimo di ordine $1/2$ per $xtooo$. Diciamo che $ln(1 + sin(1/sqrtx))$ va a $0$ come ci va $sin(1/sqrtx)$ quando $xtooo$. Infatti $sin(1/sqrtx)$ è infnitesimo di ordine $1/2$ come si ricava dal limite $lim_(xtooo)(sin(1/sqrtx))/(1/sqrtx)=1$. Spero sia tutto chiaro ora
Quando prenderai dimestichezza con gli infinitesimi li vedrai anche te al volo senza problemi

[pagnottina1]

grazie ad entrambi, ora ho tutto più chiaro