Serie, termini positivi e modulo

[sandro4]

sto facendo degli esercizi sulle serie, applicando i criteri di convergenza.Mi sono accorto che non ho mai messo i moduli, ma i due criteri li hanno entrambi.

Sul libro c'è scritto che posso togliere il modulo SOLO se la serie è a termini positivi.Come faccio per capire se una serie è a termini positivi, a segno qualunque o a segno alterno, così da applicare poi i criteri giusti?

Se uso il modulo, nel caso del rapporto me lo porto fino alla fine come se non ci fosse e poi pongo modulo del risultato >1, compreso tra 0 e 1, =1 (vedendo dove converge a.s, non converge, dove non posso dire nulla) ? Nel caso della radice come me la cavo?

p.s dimenticavo, nel caso di una serie si può capire se e dove è crescente o decrescente come si fa per le successioni?

grazie ciaoo

[david_e1]

quote:

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Originally posted by sandro4

p.s dimenticavo, nel caso di una serie si può capire se e dove è crescente o decrescente come si fa per le successioni?

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Una serie, se converge, e' un numero per cui non e' che puo' crescere o decrescere!

Per capire se una serie e' a termini positivi basta guardare il segno della successione che viene sommata. Cioe' se pensiamo la serie come:

Somme_n a_n

Dove a_n e' una successione per vedere se e' a termini positivi basta guardare il segno di a_n. Se (a_n * a_n+1) <= 0 per ogni n allora la serie si dice a segni alterni.

Per le serie a segni alterni e' abbastanza inutile applicare criteri "complicati" come quelli della radice o del rapporto visto che basta il criterio di Liebnitz. Oppure sono spesso serie a termini positivi (o negativi) con un (-1)^n davanti su cui l'effetto del modulo e' solo quello di far sparire il (-1)^n.

Per quelle a segno positivo il modulo non e' un problema.

Per quelle a segno negativo, per la convergenza, si puo' studiare la serie:

Somme -a_n

che e' a segni positivi.

Serie dove il segno cambia in modo "strano" (cioe' non sono ne a segni alterni ne a segno costante) sono rare.

Riassumendo: in realta' il problema del modulo e' un falso problema, nel senso che si tratta di mettere il modulo praticamente solo in casi in cui si conosce sempre il segno di quello che si studia. Per cui si aggiustano facilmente le cose.

[sandro4]

david_e grazie per la risposta!
riassumendo:

Somme_n a_n

se a_n>0 TERMINI POSITIVI
criterio del rapporto => senza modulo(t.positivi)
// // radice => // // // //
altri criteri..

se a_n<0 TERMINI NEGATIVI
studio Somme_n -a_n (a termini positivi)

se (a_n*a_(n+1))<=0 per ogni n SEGNI ALTERNI
applico criterio di Liebnitz

Mi viene però un dubbio, quando io pongo a_n > o <0 (mi riferisco sempre a Somme_n a_n) mi verrà fuori un certo intervallo..dopo aver scartato gli intervalli minori-uguali di zero(dato che n è un numero naturale) come li considero?

[david_e1]

Si per le serie a segni alterni il problema si pone se si studia la convergenza assoluta: in quel caso bisogna mettere il modulo e applicare i criteri per le serie positive. Tuttavia praticamente sempre ci sono serie fatte cosi':

Somme_n (-1)^n a_n

dove a_n e' a termini positivi o piu' raramente negativi. Qui' l'unico effetto del modulo e' che sparisce il (-1)^n e rimane il modulo di a_n. Qui' ci si riporta ai casi con serie a termini positivi o negativi a seconda del segno di a_n.

Poi se la serie e' a termini positivi allora a_n > 0 per TUTTI gli n (idem col < 0 per quelle a termini negativi). Quindi non ci sono intervalli in cui il segno e' minore di zero e altri in cui e' positivo.

Casi in cui ci siano intervalli di N in cui a_n e' positivo e intervalli in cui e' negativo e non si ha a che fare con serie a segni alterni sono rarissimi: al limite puo' capitare che per un numero FINITO di n a_n si distacchi dal suo segno. Ad esempio puo' capitare che a_n < 0 per n =< x e poi sia sempre positivo. In quel caso si spezza la serie in due:

Somme_n a_n = Somme_{n=0 a x} a_n + Somme_{n=x+1 a +00} a_n

La prima serie converge sempre visto che e' una somma finita, la seconda e' a termini positivi per cui si studia come al solito.